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Berechnen einer Summe bis n.

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Tags: Induktion, Sonstig, Summe, summe berechnen, Summen, Summenformel

MatheSiggi aktiv_icon

12:53 Uhr, 29.10.2016

Hallo Leute,

ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch. Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Berechnen Sie

\sum_{i = 1}^{n - 1} (i^{2} - 4 i)

.
Entweder ich übersehe gerade irgendetwas oder mir will einfach nichts einfallen.
Ich habe schon versucht die Formel folgendermaßen umzuschreiben:

\sum_{i = 1}^{n - 1} (i^{2} - 4 i) = \sum_{i = 1}^{n} (i^{2} - 4 i) - (n^{2} - 4 n)

. Ich weiß nun aber nicht wie ich weiter machen soll.
Über einen Hinweis beziehungsweise einen Gedankenanstoß würde ich mich sehr freuen ;-).

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

13:18 Uhr, 29.10.2016

Hallo,

\sum_{i = 1}^{n - 1} (i^{2} - 4 \cdot i)

= \sum_{i = 1}^{n - 1} (i^{2} - 4 \cdot i + 4) - \sum_{i = 1}^{n - 1} (4)

= \sum_{i = 1}^{n - 1} {(i - 2)}^{2} - 4 \cdot (n - 1)

= \sum_{i = 3}^{n - 1} {(i - 2)}^{2} + {(1 - 2)}^{2} + {(2 - 2)}^{2} - 4 \cdot n + 4

= \sum_{i = 1}^{n - 3} (i^{2}) + 1 + 0 - 4 \cdot n + 4

= \sum_{i = 1}^{n} (i^{2}) - {(n - 2)}^{2} - {(n - 1)}^{2} - n^{2} - 4 \cdot n + 5

= \sum_{i = 1}^{n} (i^{2}) - n^{2} + 4 \cdot n - 4 - n^{2} + 2 \cdot n - 1 - n^{2} - 4 \cdot n + 5

= \sum_{i = 1}^{n} (i^{2}) - 3 \cdot n^{2} + 2 \cdot n

Diese letzte Summe findet man in jeder gut sortierten Formelsammlung oder im Internet!

Stephan4

13:37 Uhr, 29.10.2016

Zweitbester Lösungsansatz:

\sum (i^{2} - 4 i) = \sum i^{2} - 4 \sum i

:-)

MatheSiggi aktiv_icon

17:36 Uhr, 29.10.2016

Vielen Dank für die Antwort. Nun habe ich noch eine Frage. Man hat ja jetzt die Summenformel umgeformt. Warum macht man dies? Ich dachte man muss beim Berechnen der Formel auf ein Ergebnis ohne Summenzeichen kommen, also ungefähr so wie bei der Gaußschen Summenformel:

\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n * (n + 1)}{2}

Sehe ich das falsch? Und was ist am Ende der Nutzen von der Umformung?

pwmeyer aktiv_icon

18:12 Uhr, 29.10.2016

Hallo,

die Umformungen dienen dazu, den vorgelegten Ausdruck auf Standard-Summen umzuschreiben. Du sollst jetzt selbst nachschlagen, was man letztlich erhält.

Gruß pwm

Bummerang

21:26 Uhr, 29.10.2016

Hallo,

"Du sollst jetzt selbst nachschlagen, was man letztlich erhält."

Da möchte ich, nein: muss ich

(!)

ergänzen: Du sollst jetzt selbst nachschlagen und durch Termzusammenfassung errechnen, was man letztlich erhält.

Stephan4

22:48 Uhr, 29.10.2016

Wenn Du Dir den zweitbesten Lösungsansatz oben ansiehst, wirst Du zwei Summen sehen.

Beachte dabei aber, dass im Gegensatz zu den leicht zu recherchierenden Summenformeln die Obergrenzen in Deiner Aufgabe

n - 1

ist.

Eine Summenformel hast Du selbst schon hier dargelegt, Siggi, aber eben bis

n

.

Die musst Du eben für Deine Zwecke anpassen, indem Du

n - 1

für

n

einsetzt.

:-)

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