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Berechnung der Phasenverschiebung

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Amplitude, cos, Komplexe Zahlen, Phasenverschiebung, Rad, Radius, Schwingung, sin

Octalemon aktiv_icon

16:52 Uhr, 14.03.2019

Berechnen Sie mit Hilfe der komplexen Darstellung von Schwingungen die Amplitude A und die
Phasenverschiebung φ von

s (t) = A

sin(ωt +φ)=sin(ωt

+

φ1)+2 sin(ωt) für φ1

= 2

rad.
Für welche Werte von φ1 ist A maximal bzw. minimal?

Die Lösung der Aufgabe ist auf dem ersten beigefügtem Bild abgebildet. Was ich nun nicht verstehe:

- Warum ist bei der Berechnung von

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

a = 2 + cos

?
- Ich habe verstanden, dass wir die gesuchte Schwingung in zwei aufteilen und dann die Polarform von

s

berechnen, in dem wir

s = r \cdot e^{γ}

bestimmen.

Schon mal vielen dank für aufkommende Hilfe

\land

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Sinusfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

19:10 Uhr, 14.03.2019

Jede der beiden Einzelschwingungen, die hier addiert werden sollen, kannst du dir durch einen in der Gaußebene rotierenden komplexen Zeiger erzeugt denken.
Die Summenschwingung erhalten wir, indem wir diese komplexen Zeiger addieren.
Da beide Schwingungen die gleiche Frequenz haben, rotieren die entsprechenden Zeiger gleich schnell, ändern also nicht ihre relative Position zueinander.
Die Addition der beiden Zeiger ist also immer ein Zeiger gleicher Länge, der sich ebenso mit der gleichen Geschwindigkeit wie die beiden dreht.
Anders ausgedrückt bedeutet das, dass die Summe zweier gleichfrequenter Sinus-Schwingungen wieder eine Sinusschwingung ist.
Um von dieser Amplitude und Nullphasenwinkel zu bestimmen, reicht es, die beiden Zeiger zum Zeitpunkt

t = 0

zu betrachten:

s_{1} (0) = sin (φ_{1}) = 1 ∠ φ_{1} =

cops

φ_{1} + j \cdot {sin φ}_{1}

s_{2} (0) = 2 = 2 ∠ 0 = 2 + j \cdot 0

s (0) = s_{1} (0) + s_{2} (0) = (2 + {cos φ}_{1}) + j \cdot {sin φ}_{1} = S ∠ φ

Für eine komplexe Zahl

z = a + j \cdot b = r ∠ φ

gilt bekanntlich

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

(Pythagoras!) und

φ = a r c t a n \frac{b}{a}

(zumindest für

a > 0)

.

Daher ist die Amplitude

S = | s | = \sqrt{{(2 + {cos φ}_{1})}^{2} + {sin}^{2} φ_{1}}

und der Nullphasenwinkel ist

φ = a r c t a n \frac{{sin φ}_{1}}{2 + {cos φ}_{1}}

Octalemon aktiv_icon

14:34 Uhr, 15.03.2019

Vielen Dank Roman. Ich habe das mit der Darstellung

c = a +

ib nicht in Verbindung bringen können. Dank dir habe ich das nun verstanden.

Grüße

Octalemon

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