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Berechnung der eulerschen Zahl

Schüler Gymnasium,

Tags: Eulersche Zahl

Ekino aktiv_icon

14:22 Uhr, 02.09.2011

Hallo Leute,

ich sitze seit Tagen an meiner Seminararbeit über Leonhard Euler und verzweifle an der eulerschen Zahl

e

. Ich hab zwar verstanden wie man die eulersche Zahl berechnen kann und zwar eben mit der Zinsrechnung aber ich weiß das es noch eine andere Möglichkeit gibt diese Zahl zu berechnen. Irgendwie mit der Fakultät

Ich verstehe überhaupt nicht was die Fakultät mit der eulerschen Zahl zu tun hat...kann mir das bitte jemand mal in einfachen Worten erklären?! In Wikipedia oder so verstehe ich nur Bahnhof was das angeht

: (

Schon mal jetzt ein Dankeschön fürs Zuhören

Lg Ekino

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

Shipwater aktiv_icon

14:56 Uhr, 02.09.2011

Man kann die eulersche Zahl als Grenzwert der Folge

a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

definieren. Es gilt also

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e

. Oder man kann sie auch als unendliche Reihe definieren:

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e

Ekino aktiv_icon

15:07 Uhr, 02.09.2011

Danke für diese Antwort :-) Das Hilft mir ein gutes Stück weiter...

aber kann mir jemand erklären warum genau das hier gilt: ∑k=0∞1k!=e? Ich mein klar kann ich das einfach in meiner Arbeit dann einfach hinschreiben aber mich möchte es verstehen wieso das genau so ist?

Shipwater aktiv_icon

15:18 Uhr, 02.09.2011

Ich hab dir mal einen Link rausgesucht: www.matheboard.de/archive/44757/1/thread.html
Aber ich befürchte du kannst das noch gar nicht verstehen.

prodomo aktiv_icon

17:12 Uhr, 02.09.2011

Versuchen wir es mal so, wie es in der Schule oft gemacht wird: bei einer Exponentialfunktion ist der Zuwachs proportional zum Bestand. Zuwachs kann man als

y'

beschreiben, also

y' = k \cdot y

. Man sucht jetzt nach einer Exponentialfunktion, bei der

k = 1

ist, die also gleich allen ihren Ableitungen ist. Wenn man sich deren Kurve vorstellt, dann könnte man diese Kurve so erhalten, dass man eine ganzrationale Funktion beliebig hohen Grades verwendet, damit sie durch alle Punkte verlaufen kann. Im Prinzip braucht man ja immer eine Bedingung mehr, als der Grad dieses Polynoms ausmacht. Jetzt schreiben wir dieses Polynom beginnend mit der kleinsten Hochzahl auf, also genau andersherum als gewohnt. Der Grund liegt darin, dass man mit einer beliebig hohen Hochzahl nicht beginnen kann. Unsere Funktion soll also

y = a_{0} + a_{1} \cdot x^{1} + a_{2} \cdot x^{2} ...

. heißen. Auf diese Darstellung wenden wir die Forderung an, dass die Funktion und alle Ableitungen gleich sein müssen. Zusätzlich müssen wir noch eine weitere Forderung stellen. Wenn es eine solche Funktion gibt, dann erfüllt auch ihr doppeltes, dreifaches, etc. die Forderung, weil beim Ableiten Faktoren vor den Termen erhalten bleiben. Um dies auszuschließen, fordern wir

f (0) = 1,

was für Exponentialfunktionen sinnvoll ist. Damit sind auch alle Ableitungen dieser Funktion für

x = 0

Eins. Schauen wir uns mal die Ableitungen an:

y = a_{0} + a_{1} \cdot x^{1} +

.....(außer

a_{0}

geben alle Terme den Wert

0,

x = 0

betrachtet wird

y' = a_{1} + 2 a_{2} \cdot x +

...alle außer

a_{1}

sind wieder

0, s . o

. )

y'' =

2*a_2+3*2*a_3*x...sameprocedure as last row !

Da alle Werte 1 sein sollen, erhalten wir

a_{0} = 1, a_{1} = 1, 2 \cdot a_{2} = 1, 3 \cdot 2 \cdot a_{3} = 1,

usw. Allgemein gilt

a_{n} = \frac{1}{n!}

. In

n!

stecken alle Hochzahlen, die der Reihe nach vor die Potenz gewandert sind, bis nur noch die 0 übrigblieb. Danach verschwand dieser Term beim nächsten Ableiten. Jetzt brauchen wir unsere Koeffizienten

a_{n}

nur noch einzusetzen und erhalten bei

x = 1 : 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... . .

. Andererseits muss für eine EDxponentialfunktion der vWert bei

x = 1

ja die Basis sein. Also

e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... ... . . = 2,71828 ... .

Ekino aktiv_icon

14:35 Uhr, 03.09.2011

Tut mir leid das ich erst jetzt Antworte :-) Aber Danke für diese ausführliche Erklärung es hat mich ein ganzes Stück weiter gebracht.

Den Rest meiner Arbeit muss ich mir jetzt selber zusammen basteln irgendwie!
Vielen Dank an euch zwei
LG Ekino

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