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Berechnung eines Raumbogen

Universität / Fachhochschule

Tags: Raumbogen, Rohrleitungsbau, Trigonometrie

Bimbes aktiv_icon

19:46 Uhr, 18.03.2012

Hallo, ich befasse mich seit kurzem mit dem Pipelinebau und der Linierung einer
Pipeline. Leider komme ich an einer mathematischen Formel nicht vorbei und hoffe,
dass mir hier aus dem Forum vielleicht jemand ein Stück weiterhelfen kann.
Ich suche eine Formel, die mir den Winkel eines Raumbogens ausrechnet.
Gegeben sind die vertikalen Winkel AV1(ankommend) und AV2(abgehend) sowie der
horizontale Winkel AH. Der Radius des Raumbogens ist

45,84 m

. Gesucht werden die
Tangentenlängen sowie der Winkel

W

des Raumbogens.
geg.:
AV1(ankommend)=-3,5°

(+ =

Steigung

/ - =

Gefälle)
AV2(abgehend)=+1,3°

\Rightarrow

AV = 3,5°+1,3°=4,8° (Winkel im Tangentenschnitt Vertikal)

AH = 11,9° (Winkel im Tangentenschnitt Horizontal)

ges.:
Tangentenlänge

t

des Raumbogens
Winkel

W

des Raumbogens

Es gibt eine Näherungsformel, die aber nur streng gilt, wenn ein Schenkel in
der Waagerechten liegt. Die Formel lautet

cos W = cos

\cdot cos

AH.
Für dieses Beispiel würde der Raumwinkel

W

lauten:

W =

arccos(cos 4,8°

\cdot cos

11,9°) = 12,8°
Bei größeren vertikalen Winkel wird diese Formel aber ungenau.
Vielleicht kann mir jemand hier den mathematisch korrekten Ansatz aufzeigen.

Danke für die Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

KalleMarx aktiv_icon

03:45 Uhr, 19.03.2012

Moin Bimbes!

Das Stichwort, um welches Du auch nicht herumkommen wirst, wenn Du die Sache wirklich verstehen willst, sind die Polarkoordinaten bzw. Kugelkoordinaten.

Nur um Missverständnissen vorzubeugen: Betrachte doch mal das angehängte Bild und sag mir, ob Du wirklich den Winkel

∠ H M V

meinst; also den Winkel, den die Punkte

H

und

V

mit dem Scheitelpunkt

M

einschließen.
Eine weitere Frage: Was sollen die verschiedenen Winkelangaben - willst Du nur genau einen Raumwinkel berechnen und das Thema danach nicht wieder anfassen? Besser ist es, allgemein zu bleiben.

Die Formel, welche Du angegeben hast (

W

ist ja etwas ungewöhnlich als Winkel), lautet allgemein:

α = \cos^{- 1} (\cos φ \sin θ)

,
wobei

φ

der Azimutwinkel (Horizontalwinkel) ist und

θ

der Polarwinkel (90°-Vertikalwinkel). Der Polarwinkel wird also an die Senkrechte angetragen.

Wie kommst Du darauf, daß die Formel für größere Vertikalwinkel ungenau wäre? Das ist mir nicht bekannt und das bezweifele ich auch. Das ist der mathematisch korrekte Ansatz.

Und was Dich daran stört, daß für diese Formel ein Schenkel des Raumwinkels in der Horizontalen liegen muss, ist mir gänzlich unklar. Natürlich kann man die Formel allgemeiner (mit Hilfe des Skalarprodukts) aus der Analytischen Geometrie für beliebige Schenkellagen herleiten. Dann ist sie allerdings so unhandlich und und groß, daß es keinen Spaß macht, sie zu verwenden.
Andersherum wird ein Schuh daraus: Die ollen Mathematiker (in erster Linie Hipparchos, Archimedes, Cavalieri und de Saint-Vincent) haben sich schon was dabei gedacht, als sie einen Schenkel in der Horizontalen auf der ersten Achse festhielten. Denn es ist übehaupt kein Problem jede beliebige Gerade durch eine Koordinatentransformation in jede beliebige Lage im Koordinatensystem (insbesondere auch in die Horizontale) zu bringen. Und schon kann man diese schöne Formel anwenden.

Ich kenne Deinen mathematischen Hintergrund natürlich nicht, aber

Mit dem Radius

r

(Länge der beiden Schenkel) hat man

\vec{h} = (\begin{array}{rcl} r \\ 0 \\ 0 \end{array})

als horizontalen Schenkel und

\vec{v} = (\begin{array}{rcl} r \cdot \cos φ \sin θ \\ r \cdot \sin φ \sin θ \\ r \cdot \cos θ \end{array})

als räumlichen Schenkel.
Allgemein gilt das Skalarprodukt (dicker Malpunkt) mit dem Raumwinkel

α

\vec{h} • \vec{v} = ∣ \vec{h} ∣ \cdot ∣ \vec{v} ∣ \cos α

und nach dem Winkel aufgelöst:

α = \cos^{- 1} (\frac{\vec{h} • \vec{v}}{∣ \vec{h} ∣ \cdot ∣ \vec{v} ∣})

.

Setzt man die Vektoren ein, erhält man nach ein wenig Umformen genau die obige Formel. Wenn Du es - warum auch immer - unbedingt brauchst, kannst Du den Vektor

\vec{h}

gern verallgemeinern, so daß er nicht mehr auf der ersten Koordinatenachse festgenagelt ist. Ich würde aber sagen: Das lohnt sich nicht.

Gruß - Kalle.

Edddi aktiv_icon

08:59 Uhr, 19.03.2012

...ich würd die gegebenen Winkel in Einh.-Vektoren umsetzen. Der "Knick" der Winkel wäre dann im Ursprung. Der ankommende Winkel

α

läge auf x-y-Ebene.

Für diesen ankommenden Vektor

\vec{v_{A}}

ergäbe sich:

\vec{v_{A}} = (\begin{matrix} cos (α) \\ sin (α) \\ 0 \end{matrix})

Für den abgehenden Vektor

\vec{v_{W}}

ergäbe sich mit

β

als vert. Winkel auf der x-y-Ebene und

γ

als hor. Winkel der x-z-Ebene:

\vec{v_{W}} = (\begin{matrix} cos (γ) \\ sin (γ) \\ tan (β) \cdot cos (γ) \end{matrix})

Den räuml. Winkel dann über:

cos (φ) = \frac{\vec{v_{A}} ⋆ \vec{v_{W}}}{| \vec{v_{A}} | \cdot | \vec{v_{W}} |}

cos (φ) = \frac{(\begin{matrix} cos (α) \\ sin (α) \\ 0 \end{matrix}) ⋆ (\begin{matrix} cos (γ) \\ sin (γ) \\ tan (β) \cdot cos (γ) \end{matrix})}{| (\begin{matrix} cos (α) \\ sin (α) \\ 0 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} cos (γ) \\ sin (γ) \\ tan (β) \cdot cos (γ) \end{matrix}) |}

cos (φ) = \frac{(\begin{matrix} cos (α) \\ sin (α) \\ 0 \end{matrix}) ⋆ (\begin{matrix} cos (γ) \\ sin (γ) \\ tan (β) \cdot cos (γ) \end{matrix})}{1 \cdot | (\begin{matrix} cos (γ) \\ sin (γ) \\ tan (β) \cdot cos (γ) \end{matrix}) |}

cos (φ) = \frac{cos (α) \cdot cos (γ) + sin (α) \cdot sin (γ)}{\sqrt{{cos}^{2} (γ) + {sin}^{2} (γ) + {tan}^{2} (β) \cdot {cos}^{2} (γ)}}

cos (φ) = \frac{cos (α) \cdot cos (γ) + sin (α) \cdot sin (γ)}{\sqrt{{cos}^{2} (γ) \cdot (1 + {tan}^{2} (β)) + {sin}^{2} (γ)}}

cos (φ) = \frac{cos (α) \cdot cos (γ) + sin (α) \cdot sin (γ)}{\sqrt{(\frac{{cos}^{2} (γ)}{{cos}^{2} (β)}) + {sin}^{2} (γ)}}

...über diesen Winkel und deinem Radius ließen sich dann die Tangentenläangen einfach berechnen.

Für

γ \to 0

ist

cos (γ) \to 1

und

sin (γ) \to 0

und es ergibt sich annähernd:

cos (φ) = \frac{cos (α)}{\sqrt{(\frac{1}{{cos}^{2} (β)})}}

cos (φ) = cos (α) \cdot cos (β)

...wie in deiner Näherungsformel für die waag. Verlegung.

;-)

Bimbes aktiv_icon

17:17 Uhr, 19.03.2012

Hallo, herzlichen Dank an KalleMarx und Edddi für die schnelle Antwort. Ich schau mir die ganzen Formeln mal in Ruhe an und melde mich dann ggf. nochmal.
Gruß
Bimbes

986121

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