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Berechnung eines Wurzeltermes
Universität / Fachhochschule
Tags: Wurzel
 
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Nach dem eher schwierigen Unterfangen mit der IMO-Aufgabe hier eine einfachere Aufgabe (Sie war untertitelt mit "many can't solve this"; ich bin aber sicher, dass Ihr das könnt) : Es geht darum, ohne Technologie zu berechnen. Ich persönlich habe nur wenige Minuten gebraucht, um den Term auszurechnen. Ich sage nur "Symmetrie". Wer knackt den Term? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: n-te Wurzel Wurzel (Mathematischer Grundbegriff) |
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Lässt sich leicht verallgemeinern |
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Die Verallgemeinerung ist richtig, aber Du schreibst nicht, wie Du auf diese Umformung kommst. Würde mich interessieren. |
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Na, du hast doch mit dem Hinweis auf Symmetrie schon das Wesentliche erwähnt. Und die Verallgemeinerung lässt sich genau so zeigen, wobei es sich empfiehlt, der Einfachheit halber die Substitution vorzunehmen, damit man das vollständige Quadrat in leichter sieht. Die oben angegebene Verallgemeinerung gilt nur für also für Werte von außerhalb von . Andernfalls müsste man das Ergebnis in Betrag setzen. |
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Deine Herleitung ist kurz und einfach. Dennoch hatte ich mit "Symmetrie" etwas anderes im Sinn : Mit der Substitution liefert der dritte Binom , woraus sich leicht die Wurzel ziehen lässt. Anschliessend rücksubstituiert mit ergibt |
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Auch schön, auch wenn ich den Schluss auf nicht unmittelbar einsichtig finde. |
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Ja, da habe ich zwei, drei Schritte ausgelassen. Ich dachte, das wäre in der Mathematik so üblicher Brauch? Nee, mal im Ernst : Ich habe am Smartphone getippt und wollte mich daher kurz fassen. |
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Ja, ein Problem symmetrisieren ist sehr oft eine gute Idee, da dann die Termstruktur i.a besser erkennbar ist. Vor nicht allzu langer Zeit hatte ich hier www.matheboard.de/thread.php?postid=2236116#post2236116 (Aufgabe 164) ein Problem gestellt, wo eine solche Symmetrisierung ein wesentlicher Schlüssel zur Lösung war. So auch im vorliegenden Fall. Wenn man allerdings rasch erkennt, dass ist, und somit via sofort folgert, dann kann man natürlich auf den Symmetrisierungsschritt auch verzichten, und spart dadurch etwas Schreib- und Rechenarbeit. ;-) |
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In diesem Licht betrachtet erscheint mein Vorgehen ein wenig wie mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Aber wie auch immer entbehrt der Ansatz nicht einer gewissen Intuition. Ich habe eine Frage zu Aufgabe 164 : > 1. Wenn man die ersten paar n durchprobiert Wie das? Allein schon für erhalte ich doch eine Gleichung -ten Grades. Diese ist laut Galois-Theorie aber nicht ohne Weiteres lösbar. |
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Mit den ersten paar ist ja womöglich gemeint, nicht gleich . ;-) |
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Ich habe im Matheboard ein Post an Leopold abgesetzt. Vielleicht antwortet er mir ja, wie er anhand von , oder sogar auf als Lösung kommt. |
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