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Berechnung von quad. Gleichung mit Restklassenring

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: modulo, Quadratische Gleichung, Restklassenring, Ring

 
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anonymous

anonymous

14:01 Uhr, 22.11.2015

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Hallo!

Für die regelmäßigen Übungen muss ich unter anderem folgende Aufgaben lösen, bei denen ich jedoch nicht weiterkomme:

a) R=(ℤ25,+,*) ist der Restklassenring von ℤ modulo 25.
Bestimmen Sie in R alle Lösungen der quadratischen Gleichung x2+9‾x+10‾=0‾.

b) R=(ℤ100,+,*) ist der Restklassenring von ℤ modulo 100.
Existiert in R=(ℤ100,+,*) das multiplikativ Inverse von 21‾?
Bestimmen Sie dieses ggf., wie lautet das additiv Inverse von 21‾ in R=(ℤ100,+,*)?

So wie ich es verstanden habe, müsste ich bei a) sozusagen zuerst die ℤ25 mithilfe von Primzahlen zerlegen, um dann also auf ℤ5*ℤ5 zu kommen.
Danach sollte es möglich sein, ℤ5 mit der quadratischen Gleichung zu verknüpfen und auszurechnen.
Jedoch habe ich nicht verstanden, wie das Verfahren dabei ist.

Und zu b) habe ich leider gar keine Ahnung...

Wie muss ich da vorgehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

michaL aktiv_icon

21:12 Uhr, 22.11.2015

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Hallo,

bei a) hilft dir im wesentlichen das Vorgehen aus der Schule, soll heißen, wir verwenden quadratische Ergänzung!

Dazu überlege dir, was die Hälfte von 9‾≡36‾ mod 25!

Dann brauchst du eigentlich nur noch eine Liste der Quadratzahlen mod 25 und das war's auch schon!

b) machen wir anschließend!

Mfg Michael
anonymous

anonymous

22:18 Uhr, 23.11.2015

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Hallo nochmal und danke für die Antwort!

Bei a) bekomme ich dann x1≡-4 und x2≡-5 raus. Ist das so richtig?
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michaL

michaL aktiv_icon

12:57 Uhr, 24.11.2015

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Hallo,

es tut mir leid, ich hab mich vertan mit der angegebenen Kongruenz. Es gilt (natürlich) 9‾≡34¯ mod 25.

Wenn deine Rechnung darauf basiert haben sollte, so tut es mir leid.

Was deine "Lösungen" anbelangt: Welche einfache Methode kennst du, selbst zu überprüfen, ob du alles korrekt gemacht hast?

Mfg Michael
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