Berührpunkt zweier Kreise ermitteln

Hallo. Im Rahmen meiner Facharbeit soll ich 2 Kreise sich berühren lassen, nicht schneiden, also nur eine Lösung bei Auflösung der Gleichungen. Voraussetzung ist jedoch, dass ich bei dem 2. Kreis einen Streckungsfaktor habe, den ich dadurch herausfinden muss.

${\displaystyle \sqrt{2-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}=\sqrt{4^2-\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}-2}$

wobei s der Streckungsfaktor ist. Quadriere ich beide Gleichungen erhalte ich danke meinem Freund der binomischen Formel immer noch einen Wurzelausdruck. Dazu kommt noch der Streckungsfaktor.

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-4\sqrt{16-\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}+14}$

Ist mein letztes Ergebnis. Wäre ganz gut wenns nicht allzulange dauert :) Hab nur noch 2 1/2 WOchen Zeit.

Danke Im Vorraus

Hallo. Erstmal danke für die schnelle Antwort :) Aber was ist Isolation bei Gleichungen? Noch nie gehört. Wäre nett wenn du oder jemand anders es erläutern könnte, evtl. mit irgendeinem Beispiel. Danke

Du "isolierst" die Wurzel, indem du alle Glieder, die nicht unter der Wurzel stehen, auf die andere Seite bringst. Wenn du dann nochmal quadrierst, fällt die Wurzel ganz weg, da es dann kein Binom mehr ist.

Danke für die vielen Antworten. Die letzte verstehe ich zwar nur in den Ansätzen, aber danke trotzdem :)

Mal ein konkretes Bsp. Ich hab  die Gleichung ein wenig abgeändert, da ich gemerkt habe, da es so sinnvoller ist:

SQRT(2-(x-p)^2)=SQRT(4^2-x^2)-2

Löse ich diese Gleichung nun mittels Isolation komme ich auf folgendes Ergebnis, was mich vor noch mehr Fragen und unlösbaren Aufgaben stellt:

0=4x^4-8px^3+8(px)^2-56x^2-4xp^3-72px+p^4-36p^2+28

Kann mir vielleicht mal bitte jemand vorrechnen wie ich das p aus der Gleichung herauskriege, oder wenn das zu viel Arbeit ist bei der letzten Gleichung einen Alternativvorschlag zur Isolation der Wurzel in der 1. Gleichung anbieten. 

Danke im Vorraus

 Also gut. Es geht darum, dass ich eine Ei-Kurve erstellen soll, die sich aus 4 Kreisen zusammen setzt.

Das erste Bild zeigt das aktuelle Bild, dass 2. was sein soll.

Als Gleichung habe ich folgende verwendet:

Für den Kreis durch den Ursprung: SQRT(2^2-x^2)

Für die großen Kreise: SQRT(4^2-x^2)-2

Für den kleinen Kreis in der Spitze: SQRT(2-(x-p)^2)

Die erste Gleichung ist für die Berechnung unnötig. Mein Ziel ist es jetzt den Parameter p herauszufinden, mit dem ich dann den nötigen Verschiebefaktor erhalte, damit die beiden Kreise jeweils nur einmal berührt werden.

Nochmals danke für die Mühe :)

Ja hierbei handelt es sich nur um ein Beispiel. 

Eine komplexere und genauere Betrachtung bietet die Möglichkeit eine Eikurve aus vier Kreisen zu erstellen. Hierfür nimmt man einen Kreis K1 der im Koordinatenursprung seinen Mittelpunkt hat. In diesem Beispiel hat der Kreis die Formel: s. Formel 1. Dort wo der Kreis K1 die y-Achse schneidet, erstellt man jeweils zwei neue Kreise K2 und K3, die als Radius den Durchmesser von K1 haben. Daraus ergibt sich folgende Formel: s. Formel 2. Die Kreise haben mit K1 jeweils einen Berührpunkt B1,2, die beide auf dem Schnittpunkt mit der y-Achse des Kreises K1 liegen, die wiederum die Mittelpunkte des jeweils anderen Kreises sind. Das Problem hierbei ist jedoch, dass das Ei jetzt an beiden Seiten spitz zuläuft. Deswegen benötigen wir noch einen vierten Kreis, der auf der x-Achse liegt und die Kreise K2 und K3 in genau einem Punkt berührt. Als Kreisradius verwenden wir hier 2 woraus sich die Formel SQR(2-X^2) ergibt.

&copy; bei mir :) Ist nämlich nen Auszug aus meiner Facharbeit

Also es soll wie folgt aussehen:

kleinster Kreis: p

mittlerer Kreis: p^2

großer Kreis: 2*p^2

Hi nochmal. Erstmal danke füpr die tolle Hilfe und die ganze Mühe. Du verwendest leider eine Schreibweise die mir überhaupt nicht geläufig ist, kannst du bitte folgendes einmal erklären?

K2: x^2 + (y - r_1)^2 = (2*r_1)^2 = 4*r_1^2

Der Abstand des Mittelpunktes von K4 vom Mittelpunkt von K2 (und wegen der Symmetrie auch von K3, wir berechnen aber nur eines!) ist:

2*r_1 - sqrt(r_1)

Wenn ich das verstanden habe wäre das schon sehr viel wert :) Denkt bitte nicht ich hätte mich nciht damit auseinandergesetzt, aber ich sitze heute schon 3 Stunden an der Facharbeit und als ich jetzt noch eine halbe Stunde über deinen Rechenweg und deine Artikulation nachgedacht habe ist mir nichts mehr eingefallen :)

bzgl. Artikulation: Meinst du in dem ersten Satz villt: Der ABstand des Mittelpunktes von K4 ZUM Mittelpunkt von K2? Wenn ja, dann versteh ich das nicht, weil K2 seinen Mittelpunkt ja gar nicht auf der x-Achse hat, wie K4 sondern um r_1 nach oben bzw. unten verschoben.

Nochmals danke, danke, danke :)

*Die Frage dezent nach oben schieb*

Hallo. Ja ein klein wenig verständlicher schon. ABer es geht hier ums Grundsätzliche. Das Ergebnis ist richtig, da ich es durch rumprobieren rausbekommen habe. Dein Rechenweg kann also auf jedenfall nciht falsch sein.

Zurück zu meinem Problem:

K2: x^2 + (y - r_1)^2 = (2*r_1)^2 = 4*r_1^2

Versteh ich nicht mal in den Ansätzen, ganz unabhängig davon, dass ich die Schreibweise nur schwer nachvollziehen kann, fehlt mir hier das + bzw. - r_1, mit dem der Kreis verschoben wird. 

Vielleicht wird mir wenn ich obiges verstanden habe auch das hier klar:

2*r_1 - sqrt(r_1)

Ich kanns nur nochmal betonen, dass deine Ergebnisse auf jedenfall richtig sind, mir aber beim Verständnis leider, aufgrund der mir nicht geläufigen Schreibweise, nicht helfen.

Ich habe bereits versucht die Gleichungen umzufromen etc, sodass ich die klassische y=mx+b Formel heruaskriege, aber auch dann versteh ich nicht wieso bei K2 der Parameter p beim verschieben nicht vorhanden ist .

Ich hoffe ich treibe dich hier nicht zur Weißglut durch meine Unwissenheit und mein Unverständnis. Ich bin eigentlich sehr gut in Mathe, aber die Schreibweise ist mir noch nie untergekommen.

Danke nochmal :)

Also angezeigt wird eigentlich alles super. Es war nur, wie ich bereits merhmals erwähnte, die Schrebweise die mir einfach nicht geläufig ist/war. Aber nach einer gewissen Zeit googlen kann ich es nun halbwegs nachvollziehen und dir natürlich nur Recht geben :) Dennoch hab ich dann die Frage, wie du weiterkommst.

Um den Abstand der Mittelpunkte zueinander zu ermitteln habe ich folgendes gemacht:

Mk2 (0/-r_1)

Mk4(q/0)

q beschreibt hierbei die unbekannte x-Koordinate des Kreises k4. 0 ergibt sich durch die Lage K4 auf der x-Achse. Verfahre ich nun mittels des üblichen Ermittlungsverfahrens zur Abstandsbestimmung zwischen 2 Punkten erhalte ich folgendes:

(Xmk4-Xmk2)^2+(Ymk4-Ymk2)^2=d^2

q^2+r_1^2=d^2

daraus folgt für mich leider nicht folgendes:

2*r_1 - sqrt(r_1)

Es wäre nett wenn du das noch einmal detailliert erläutern könntest.

Hallo. Erstmal danke, den Schritt hab ich nun verstanden. Mein Problem war, dass ich weder die Schreibweise verstanden habe noch, als ich diese dann verstanden habe, nachvollziehen konnte was passiert, weil ich die Kreise stets mit einem Programm hab zeichnen lassen. Dort fehlte mir einfach der Bezug, den ich durch eine kleine Zeichnung nun gefunden habe.

Ich hab jetzt nur schnell in zwei Freistunden den Schritt umgesetzt und kann leider noch nicht sagen wie ich es weiter verstehe, deswegen werd ich das Thema noch nicht abhaklen, aber ich bin nun frohen Mutes es ohne sonstige Hilfe zu schaffen :)

Wenn du aus Nordrhein-Westfalen kommst, dann lass uns ma n Bier auf meien Rechnung trinken :)

Edit: so nun endgültig fertig :) Danke nochmals

1.y = (sqrt(3*r_1^2 - 4*r_1*sqrt(r_1) + r_1) - 0)/(0 - r_1)*x + r_1

2.y = sqrt(3*r_1^2 - 4*r_1*sqrt(r_1) + r_1)/(-r_1)*x + r_1

3.y = -sqrt((3*r_1^2 - 4*r_1*sqrt(r_1) + r_1)/r_1^2)*x + r_1

4.y = -sqrt(3 - 4/sqrt(r_1) + 1/r_1)*x + r_1

Hi erneut. Ist die Berechnung für die Steigung nnicht y2-y1/x2-x1=m ?

Hier hast du die x-Werte im Zähler. Im 3. Schritt setzt du einfach ein - vor den Ausdruck und quadrierst den Nenner. Es wäre nett wenn du dies wiedereinmal erklären könntest :) Das einzige was ich mir vorstellen kann ist, dass es sich dabei sozusagen um eine Umkehr des Zählers mit dem Nenner handelt. Kann das so aber nicht nachvollziehen.