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Beschränkte Fläche des Einheitskreis berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

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19:38 Uhr, 07.04.2019

Hallo,

uns wurde folgende Aufgabe gestellt:

Berechnen Sie in Abhängigkeit von $x \in [- 1,1]$ den Flächeninhalt des schraffierten Sektors des Einheitskreis.
Habe folgendes in einem Buch gefunden was sehr ähnlich dazu ist, jedoch ist dabei die gesamte eingeschränkte Fläche schraffiert (praktisch doppelt so groß) und ich weiß mit der Lösung nicht viel anzufangen bzw wie ich diese auf meine Aufgabe anwenden soll:

Sei $F$ der Flächeninhalt des schraffierten Sektors.
Am Kreis $y^{2} = 1 - x^{2}$ gilt: (Diese Beziehung ist mir klar)
$F =$ xy $+ 2 \cdot \int_{x}^{1} \sqrt{1 - t^{2}} d t$
$= x \cdot \sqrt{1 - x^{2}} + (t \cdot \sqrt{1 - t^{2}}$ +arcsin $t) |_{x}^{1}$
= arcsin(1)-arcsin(x) = arccos(x)

Würde mich über eine Antwort freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

20:06 Uhr, 07.04.2019

Sei der Kreispunkt $P (x | y),$ dann ist der Flächeninhalt des rechtwinkeligen Dreiecks $\frac{x \cdot y}{2},$ die restliche Fläche $\int_{x}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d t ($ in Abhängigkeit von $P)$ .

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20:10 Uhr, 07.04.2019

Okay, das versteh ich schon mal, danke.
Aber näher an die Lösung bringt mich das trotzdem nicht wirklich, ich habe ja in meinem Fall keinen exakten Punkt oder sonstiges gegeben..

Respon

20:13 Uhr, 07.04.2019

Darum ist auch das Ergebnis keine konkrete Zahl sondern ein Term in Abhängigkeit von $x$ .

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20:20 Uhr, 07.04.2019

Das verstehe ich schon, aber du möchtest mir damit nicht sagen, dass die von mir angegebene Lösung in meinem auch so zutrifft?:-D)

Respon

20:23 Uhr, 07.04.2019

Deine Rechnung bezieht sich auf die doppelte Fläche.
Ich hatte oben einen Tippfehler.
Restliche Fläche $\int_{x}^{1} \sqrt{1 - t^{2}} d t$

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20:27 Uhr, 07.04.2019

Hab ich für den einen Moment schon wieder vergessen, dachte grad an eine Variation von $x$ um diese Fläche zu erhalten..
Und die simple Multiplikation mit $\frac{1}{2}$ erscheint mir zu trivial und nicht zielführend.

Respon

20:32 Uhr, 07.04.2019

Was meinst du mit deinem letzten Satz ?
Hast du das $\int_{x}^{1} \sqrt{1 - t^{2}} d t$ schon mal ausgerechnet ?

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20:45 Uhr, 07.04.2019

Ja, wäre bei mir $\frac{π}{4} -$ (arcsin(x) $+ x \cdot \sqrt{1 - x^{2}}) \frac{1}{2}$

Konnte die klammer nicht als kompletten Bruch darstellen, deswegen mal $\frac{1}{2}$ am Ende

Respon

20:49 Uhr, 07.04.2019

Und für die gesuchte Fläche addiert man jetzt noch $\frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{1 - x^{2}}$ .

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20:56 Uhr, 07.04.2019

Für meine halbe Fläche oder im Bezug auf den angegeben Rechenweg?

Respon

20:58 Uhr, 07.04.2019

Wir reden von der Fläche in der Zeichnung.

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21:09 Uhr, 07.04.2019

Okay, damit ich das einmal vollständig nachvollziehen kann:
Fangen an wie oben:
$F =$ xy+ $2 \cdot \int_{x}^{1} \sqrt{1 - t^{2}} d t$
= xy $+ 2 \cdot (\frac{π}{4} -$ arcsin(x)+x* $\sqrt{1 - x^{2}}) \frac{1}{2}$
= xy $+ (\frac{π}{4} -$ arcsin(x)+x* $\sqrt{1 - x^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{1 - x^{2}}$

Stimmt das soweit?

Respon

21:13 Uhr, 07.04.2019

Was hat das mit deiner Zeichnung zu tun ?

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21:27 Uhr, 07.04.2019

Ich dachte zumindest der Ansatz wäre übertragbar.
Also behalte ich wohl doch nur den Integralterm bzw Fläche und addiere $\frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{1 - x^{2}}$ hinzu
dann erhalte ich ja:

$\frac{π}{4} -$ arcsin(x) $+ x \cdot \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{1 - x^{2}}$
Und addiere noch die $\frac{x \cdot y}{2}$ für die Dreiecksfläche?

Respon

21:34 Uhr, 07.04.2019

$F = \frac{x \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \int_{x}^{1} \sqrt{1 - t^{2}} d t = \frac{x \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{π}{4} - \frac{x \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot a r c s i n (x) = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \cdot a r c s i n (x) = \frac{1}{2} \cdot a r c c o s (x)$

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21:46 Uhr, 07.04.2019

Da hab ich wohl ein Vorzeichen verwechselt, aber dann wärs ja am Ende doch einfach nur die Multiplikation mit $\frac{1}{2}$ gewesen.

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21:50 Uhr, 07.04.2019

Dennoch vielen Dank für deine Hilfe/Geduld, habs dann jetzt zumindest einigermaßen verstanden. :-)

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