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Bestimmen den Rest nach Teilen?

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

 
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MaaaathStuuudent

MaaaathStuuudent aktiv_icon

20:18 Uhr, 02.10.2021

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Hallo zusammen, ich habe Probleme den Lösungsansatz bei folgender Aufgabe zu verstehen.

Aufgabe:
Es sei ∈ℝ[x] mit p(1)=5 und p(-2)=-1. Bestimmen Sie den Rest nach Teilen von p durch (x-1)(x+2).

Lösung:
Es seien q und r Polynome mit p=q(x-1)(x-2)+r und r=0 oder deg(r)<deg(x-1)(x+2)=2. Den Fall r=0 können wir ausschließen, denn p(1)=5 impliziert (x-1) durch p teilbar. Somit hat r die Form r=ax+b, für irgendwelche reellen Zahlen a und b. Einsetzen von x=1 und x=-2 ergibt 5=p(1)=a+b, -1=p(-2)=(-2a+b) und folglich a=2 und b=3. Somit ist r=2x+3.

So meine Fragen wären jetzt wie ich das ganze ausgerechnet habe?
Wo setze ich z.B. x=1 und x=-2 ein und wie komme ich darauf dass a=2 und b=3?

Danke schonmal für jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Quibus

Quibus aktiv_icon

22:30 Uhr, 02.10.2021

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Guten Abend MaaaathStuuudent,


Zum Einsetzen der x-Werte:

Du hast die x-Werte x=1 und x=-2. Diese setzt du nun jeweils für x in die Form p(x)=ax+b ein:
p(x)=ax+b ⇒p(1)=1a+b=a+b=5 und p(-2)=-2a+b=-1

Ziel ist es, a und b zu bestimmen. Durch Umstellen erhältst du:

5=a+b⇒5-a=b und 5-b=a


Nun setzt du in p(-2) für b und a ein:

p(-2)=-1=-2a+5-a⇒a=2

p(-2)=-1=-2(5-b)+b⇒b=3

Aus a und b wird in r also:

r=2x+3

Ich hoffe, dass meine Erklärung verständlich war! Ich bin für Nachfragen offen.

MfG Quibus
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HAL9000

HAL9000

10:26 Uhr, 04.10.2021

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Bleibt noch die Frage: Warum postet die Autorin ihre Frage doppelt?

www.onlinemathe.de/forum/Bestimmen-den-Rest-nach-Teilen
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Quibus

Quibus aktiv_icon

21:57 Uhr, 04.10.2021

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Ich glaube, sie hat hier bereits drei Fragen zu dieser Aufgabe gestellt.
Und noch auf anderen Webseiten
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.