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Bestimmtes Integral mit drei Variablen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

drabherb aktiv_icon

19:50 Uhr, 05.01.2012

Hallo,

bin gerade dabei mir die Zähne auszubeissen.

Und zwar suche ich nach dem Bestimmten Integral von

\int_{0}^{1} x^{n} \cdot {(1 - x)}^{m} d x

n, m \in ℕ_{0}

Ich hab schon erkannt dass man hier mit partiellem Integrieren nicht weit kommen
wird. ;-)
Ich hab schon einen Tipp bekommen bzgl. die Komponenten

m

und

n

als Granzen meines Integrals zu nehmen und irgendwie auf eine rekursive Formel zu kommen.

Nur da happerts bei mir einfach am wissen was man darf vlgl. was einem was bringt.

Hat jemand von euch einen Tipp.

Würde echt gerne wissen wie dieses Beispiel zu lösen ist.

Lg drab

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

DerDepp aktiv_icon

23:17 Uhr, 05.01.2012

Hossa ;-)

Ich schlage vor, die Aufgabe doch mit partieller Integration zu lösen. Man kann damit das Integral zwar nicht direkt ausrechnen, jedoch erhält man eine sehr schöne Rekursionsformel. Gesucht ist also:

I (n, m) := \int_{0}^{1} x^{n} (1 - x)^{m} d x = ?

Für die partielle Integration wähle:

u ʹ = x^{n}; v = (1 - x)^{m} \overset{}{\Rightarrow} u = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}; v ʹ = - m (1 - x)^{m - 1}

Damit lautet das Integral:

I (n, m) = {[\frac{x^{n + 1}}{n + 1} (1 - x)^{m}]}_{x = 0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \cdot m (1 - x)^{m - 1} d x

Die eckige Klammer ergibt nach Einsetzen der Integrationsgrenzen Null, so dass nur das Integral übrig bleibt:

I (n, m) = \frac{m}{n + 1} \int_{0}^{1} x^{n + 1} (1 - x)^{m - 1} d x = \frac{m}{n + 1} I (n + 1, m - 1)

Wendet man diese Rekursionsformel ein zweites Mal an, ergibt sich:

I (n, m) = \frac{m}{n + 1} I (n + 1, m - 1) = \frac{m}{n + 1} \frac{m - 1}{n + 2} I (n + 2, m - 2)

Die m-fache Anwendung dieser Rekursionsformel ergibt:

I (n, m) = \frac{m}{n + 1} \frac{m - 1}{n + 2} \frac{m - 2}{n + 3} \dots \frac{1}{n + m} I (n + m, 0) = \frac{m!}{(n + 1) (n + 2) (n + 3) \dots (n + m)} I (n + m, 0) = \frac{n! m!}{(n + m)!} I (n + m, 0)

Das verbliebene Integral lässt sich leicht berechnen:

I (n + m, 0) = \int_{0}^{1} x^{n + m} (1 - x)^{0} d x = \int_{0}^{1} x^{n + m}, d x = {[\frac{x^{n + m + 1}}{n + m + 1}]}_{x = 0}^{1} = \frac{1}{n + m + 1}

Alles zusammengeschraubt erhält man:

I (n, m) = \frac{n! m!}{(n + m + 1)!}

Ok?

drabherb aktiv_icon

23:40 Uhr, 05.01.2012

Wahnsinn. Mich ärgert nur dass ich anscheinend aus zu viel "Furcht?" oder was auch immer nicht ein zweites, drittes mal selbst partiell Integriert habe....Man sollte einfach mal nicht gleich aufhören....

Neben dem Beispiel danke für diese Lektion.

Lg drab

drabherb aktiv_icon

23:40 Uhr, 05.01.2012

:-) funktioniert !

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