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Betrag und Potenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Betrag, Folgen, Reihen, Wurzel

bmxpro aktiv_icon

07:12 Uhr, 28.03.2014

Die Reihe

\sum_{i = 1}^{\infty} (\frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{n}})^{n}

soll auf Konvergenz untersucht werden. Mit dem Wurzelkriterium folgt:

\sqrt[n]{∣ a_{n} ∣} = \sqrt[n]{∣ (\frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{n}})^{n} ∣} = \sqrt[n]{∣ (\frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{n}}) ∣^{n}} = ∣ \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{n}} ∣ \dots

Meine Frage ist, warum man den Exponenten aus dem Betrag herausziehen darf?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

07:42 Uhr, 28.03.2014

Weil es eben die Regel ist:

∣ x^{n} ∣ = ∣ x ∣^{n}

für alle reelle (auch für komplexe)

x

und natürliche

n

(auch nicht nur für natürliche).
Wenn Du die Regel nachvollziehen willst, geht das auch einfach, zumindest im reellen Fall, denn für

x > = 0

ist

∣ x^{n} ∣ = ∣ x ∣^{n}

äquivalent zu

x^{n} = x^{n}

und für

x < 0

kann man getrennt gerade und ungerade

n

separat betrachten, dann ist

∣ x^{n} ∣ = ∣ x ∣^{n}

äquivalent zu

x^{n} = (- x)^{n} = x^{n}

im geraden Fall und zu

- x^{n} = (- x)^{n} = - x^{n}

im ungeraden Fall.
Für komplexe

x

wird etwas schwieriger, aber geht auch.

Respon

09:38 Uhr, 28.03.2014

Ich nehme an, dass du dich bei der Laufvariablen nur verschrieben hast.

bmxpro aktiv_icon

11:07 Uhr, 28.03.2014

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Bei dem Laufindex hatte ich mich veschrieben, die Summe muss natürlich von n=1 bis ... laufen.

Wo kann man solche Rechenregeln am besten nachschlagen?

matheleia aktiv_icon

15:09 Uhr, 28.03.2014

Die Betragsfunktion wird auch Euklidische-Norm genannt. Unter dieser Bezeichnung solltest du alles finden. Man kann sich diese "Regel" jederzeit leicht selbst herleiten, wenn man folgendes betrachtet:

Def. der Euklidischen Norm in

ℝ^{n}

ist:

x \in ℝ^{n}

∣ x ∣ = \sqrt{\sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2}} = (\sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2})^{1 / 2}

.

In deinem Fall musst du n=1 setzen und die allgemeinbekannten Potenzregeln anwenden.

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