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(Beweis) Polynomgrad und Nullstellen
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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anonymous 17:25 Uhr, 16.03.2007  |
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Hallo, folgende Erklärung zur Bestimmung der Anzahl der Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte einer Funktion fand ich in meinem Mathebuch: Für eine ganzrationale Funktion f mit dem Grad n, n € N, n >= 2 gilt: (Das € soll so ein Elementzeichen sein und das >= ein Größer-Gleich-Zeichen, habe das mit dem Formel einfügen leider nicht hinbekommen, sorry.) Nullstellen: Die Funktion f hat höchstens n Nullstellen. Extrempunkte: Die Funktion f hat höchstens n-1 Extrempunkte. Wendepunkte: Die Funktion f hat höchstens n-2 Wendepunkte. Ich verstehe das nicht mit dem n € N usw. und weiß nicht, wie ich nun die Anzahl der Nullstellen usw. an der Funktion bestimmen kann. Zum Beispiel bei der Funktion f(x)= 0,25x^4 + x^3 - 4,5x^2 Wie muss ich da vorgehen? Dankeschön ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Edit (20:41 16.03.2007): Thema angepasst: VON ´Funktionsuntersuchungen (Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte)´ NACH ´(Beweis) Polynomgrad und Nullstellen´ -die Moderation- (Einzeiler vorzugsweise) |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) | |
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anonymous 17:34 Uhr, 16.03.2007 |
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kleine Ergänzung; hier sieht man mal, wie es wirklich im Buch steht, weil ich es mit dem Formeleinfügen ja nicht geschafft habe: img95.imageshack.us/img95/1939/matheea2.png ;) |
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Dieses n € N ist eine beliebige natürliche Zahl und bedeutet hier den Grad eines Polynomes p. Das ist der höchste real vorkommende Exponent des Polynomes. Die (s.u.) relativ einfach zu beweisende Aussage besagt, dass allein der Grad eine Aussage über die Nullstellenanzahl gestattet. Anmerkung: Den Fall p=0 brauche ich wg. n >= 2 nicht betrachten. Das Nullpolynom hat grad=0 bzw. (-1) und beliebig viele Nullstellen. - Näheres (zu dieser Erbsenzählerei): grad(p)=n besagt, dass die Potenz xn einen Koeffizienten a != 0 besitzt (und in diesem Sinne keine höheren Potenzen vorkommen). Das Polynom beginnt also mit p(x)= a*xn + (usw.). Ein Polynom p vom grad(p)=0 ist ergo konstant, etwa p(x)= a*x0= a mit a != 0. Das Nullpolynom kann dieses a != 0 nicht vorweisen, sodass die Definition grad(0)= -1 gerechtfertigt ist. Beh.: Polynom p mit grad(p)=n € N und n >=2 hat höchstens n Nullstellen indirekter Beweis: Angenommen, p hat (n+1) Nullstellen, dann liesse sich p darstellen als p(x)= a*(x- x1)(x -x2)*...*(x- xn)*(x- xn+1) mit a € R/{0} , etwa nach (n+1)-maligem(!!) Abspalten von (x- xj) per Polynomdiv. Dies ergibt jedoch ein Polynom vom Grade (n+1)... Widerspruch zu grad(p)=n (*fertisch*) Man könnte auch sehr bequem per vollständiger Induktion über n (ab n=2) argumentieren... Beweis durch vollst.Induktion: (Ind.Anfang n=2:) Polynome vom Grad =2 haben die Form y= ax² +bx +c und besitzen gem. p-q-Formel höchstens 2 Nullstellen. (Ind.Voraussetzung:) Die Aussage ist richtig für n >= 2. (Ind.Beweis:) Sei q ein Polynom vom Grade grad(q)=n+1. Besitzt q keine Nullstelle, so ist die Aussage richtig. Besitzt q jedoch eine Nullstelle x0, so kann ich q darstellen als q(x)= (x- x0)* p(x), wobei grad(p) =n . p hat jedoch höhstens n Nullstellen, ergo hat q höchstens n+1 Nullstellen. (*fertisch*) Behauptungen für Extrema + Wendepunkte etc. Wenn ich p mit grad(p)=n >= 2 ableite, entsteht ein Polynom p´ mit grad(p´)= n-1 >= 1. Dieses hat (s.o.) höchstens n-1 Nullstellen und daher höchstens n-1 Extrema. p´(x)=0 war ja für Extrema notwendig... (hat Fermat gesagt!) Wenn ich p NOCHMAL ableite,..., n-2 Wendestellen. Bei Deinem Beispiel klammerst Du x² aus und überlegst mit der p-q-Formel, wieviele Nullstellen der andere Term genau hat. -Steele- ________________________ Letztes Edit (20:10 16.03.2007): Etwas umstrukturiert und Ind.Beweis ergänzt. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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