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Beweis der Potenzgesetze für reelle Zhalen

Universität / Fachhochschule

Tags: potenzen reell

 
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MaP12

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09:26 Uhr, 17.01.2021

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Aufgabe:

Zeige das ax+y=ax⋅ay

Seien a,b>0 reelle Zahlen und x,y∈R.


Problem/Ansatz:

Darf man diesen Beweis mit Vollständiger Induktion für y=0 machen, obwohl y∈R ist ? Und somt nicht die kleinste Zahl ist.

Falls nein, wie würde man statt der Vollständigen Induktion diesen Beweis machen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

09:45 Uhr, 17.01.2021

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"Falls nein, wie würde man statt der Vollständigen Induktion diesen Beweis machen ?"

Welchen diesen?
Vollständige Induktion ist nur auf abzählbare Mengen anwendbar, also auf R nicht.
MaP12

MaP12 aktiv_icon

09:54 Uhr, 17.01.2021

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und wie würde ich jetzt zeigen, dass ax+y=ax⋅ay ist ?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:07 Uhr, 17.01.2021

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Normalerweise zeigt man das durch den Grenzwertübergang.
Zuerst zeigt man ax+y=axay für ganze x,y. Dann für rationale. Und dann für reelle x,y nimmt man rationale Folgen xn,yn mit xn→x und yn→y und macht den Grenzwertübergang.
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