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Beweis einer Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Fakultät, Potenz, Summe, Ungleichung

 
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puya248

puya248 aktiv_icon

18:09 Uhr, 10.01.2015

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Guten Tag,

ich hänge ohne wirklichen Lösungsansatz an folgender Aufgabe:

Beweisen Sie:

(∑k=1nkn)n≥∏k=1nk


Hinweis: Für festes n sei A(n) die Aussage der Ungleichung. Betrachten Sie zunächst den
Spezialfall n=2 und zeigen Sie dann A(2)und A(n)⇒A(2n) sowie A(n)⇒A(n-1).


Den Hinweis verstehe ich folgendermaßen: Man soll von n=2 ausgehen, dann die Aussage für alle folgenden Geraden n beweisen, und anschließend davon ausgehend die Ungeraden. Allerdings habe ich keinen Ansatz. Mit vollständiger Induktion komme ich auch nicht wirklich weiter. Wäre daher für alle Ansätze und Vorschläge dankbar.

Edit: Zieht man die n-te Wurzel, erhält man die Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel. Laut Wikipedia ist die Aufgabe mit dem Beweis von Cauchy lösbar durch Vorwärts-Rückwärts Induktion. Das scheint wohl auch der Hinweis zu sein.




Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

09:58 Uhr, 11.01.2015

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Diesen Beweis gibt's in englischen Wikipedia:
http//en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means#Proof_by_Cauchy_using_forward.E2.80.93backward_induction

Ich habe ihn hier auch schon geschrieben, kann leider den Thread nicht mehr finden. :(
puya248

puya248 aktiv_icon

20:24 Uhr, 14.01.2015

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Hallo, danke erstmal für die Antwort:-)

Ich habe folgenden Link gefunden, allerdings ist mir beim Vorwärtsschritt n⇒2n eine Sache nicht klar.

http//www.oemo.at/wiki/index.php/Arithmetisch-geometrische-Mittelungleichung


Zuerst wird dort ja der Term mit Wurzelgesetzen aufgeteilt in die Quadratwurzel und das Produkt aus der n-ten Wurzel. Aus dem Spezialfall und Induktionsanfang n=2 folgt dann die Ungleichung mit den Produkten unter der Wurzel als x1 beziehungsweise x2. Die darauffolgende Ungleichung mit dem Faktor 12n verstehe ich leider nicht.
Dass dieser Term dann wieder 12n⋅∑i=12nx ergibt, ist klar.



Hoffe jemand kann mir das erklären :-)


Edit: Wenn man den Wald vor lauter Bäumen nicht sieht... Es ist die Induktionsvorraussetzung, mit dem Zusatz, wenn a1≤b1 und a2≤b2 dann a1+a2≤b1+b2

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