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Beweis einer Ungleichung mittels Cauchy-Schwarz

Universität / Fachhochschule

Integration

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Chauchy-Schwarz, Integration, Skalarprodukt, Vektorraum

sventja

18:57 Uhr, 27.05.2010

Beweisen Sie die Ungleichung

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{sin (t) cos (t)} d t \leq 1

HInweis: Definieren Sie einen geeigneten Euklidischen Vektorraum und verwenden
Sie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

hagman aktiv_icon

19:04 Uhr, 27.05.2010

Betrachte in

L^{2} ([0, \frac{π}{2}])

die durch

f (t) = \sqrt{sin (t)}, g (t) = \sqrt{cos (t)}

gegebenen Vectoren.

| | f | | = \sqrt{〈 f, f 〉} = \sqrt{\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (t) d t} = 1

usw.

sventja

19:55 Uhr, 27.05.2010

Also das zu definierende Skalarprodukt ist schon

< f, g > = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{sin (t) \cdot cos (t) d t}

? Und muss man da dann noch Sym., pos.Def. und Bilinearität nachweisen?
Ergibt

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (t)

nicht

- cos (t) \int_{0}^{\frac{π}{2}} = - 1

?
Und was ist

L^{2}

hagman aktiv_icon

10:53 Uhr, 28.05.2010

Hm, wenn ihr

L^{2}

nicht kennt, muss der Vektiorraum erstmal komplizierter beschreiben werden. Da er aber andererseits nur die für diesen Beweis erforderlichen Funktionen zwingend enthalten muss, kann man ihn ruhig eher klein wählen:

Sei

V

der

ℝ

-Vektorraum alle stetigen Abbildungen

[0, \frac{π}{2}] \to ℝ

f, g \in V

existier dann stets das Integral

〈 f, g 〉 := \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (t) g (t) d t

.
Behauptung:

〈, 〉

ist ein Skalarprodukt.
1.

〈 f_{1} + f_{2}, g 〉 = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (f_{1} (t) + f_{2} (t)) g (t) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f_{1} (t) g (t) d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f_{2} (t) g (t) d t = 〈 f_{1}, g 〉 + 〈 f_{2}, g 〉

〈 c \cdot f, g 〉 = \int_{0}^{\frac{π}{2}} c f (t) g (t) d t = c \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (t) g (t) d t = c \cdot 〈 f, g 〉

〈 g, f 〉 = \int_{0}^{\frac{π}{2}} g (t) f (t) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (t) g (t) d t = 〈 f, g 〉

〈 f, f 〉 = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f^{2} (t) d t \geq \int_{0}^{\frac{π}{2}} 0 d t = 0

5. Gilt

〈 f, f 〉 = 0 \Rightarrow f = 0

? Ist

f \neq 0,

so gibt es ein

x

mit

0 < x < \frac{π}{2}

mit

f (x) \neq 0

bzw.

f^{2} (x) > 0

. Da

f^{2}

stetig ist, gibt es dann sogar ein

ε > 0

mit

0 < x - ε < x + ε < \frac{π}{2}

und

f^{2} (ξ) > \frac{1}{2} \cdot f^{2} (x)

für alle

ξ

mit

x - ε < ξ < x + ε

. Es folgt

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f^{2} (t) d t \geq \int_{x - ε}^{x + ε} f^{2} (t) d t \geq \int_{x - ε}^{x + ε} \frac{1}{2} f^{2} (x) d t = ε f^{2} (x) > 0

- -

Wähle jetzt speziell

f, g \in V

mit

f (t) = \sqrt{sin (t)}

bzw.

g (t) = \sqrt{cos (t)}

(zum Glück sind sin und

cos \geq 0

im betrachteten Intervall).

sventja

14:06 Uhr, 29.05.2010

Bei 5. hast du gezeigt, ist

f \neq 0,

so ist

< f, f > > 0,

muss man hier aber nicht zeigen, dass aus

< f, f > = 0

folgt

f = 0

? Oder ist das das gleiche?

sventja

14:36 Uhr, 29.05.2010

Also so?
Sei

f (t) = \sqrt{sin (t)}

und

g (t) = \sqrt{cos (t)}

\to < f, g > = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{sin (t) cos (t)} d t

Laut Cauchy-Schwarz wäre

< f, {g >}^{2} \leq < f, f > < g, g >,

also

\int sin (t) cos (t) d t \leq \int sin (t) d t \cdot \int cos (t) d t

\Leftrightarrow - cos (t) sin (t) \int \leq - cos (t) \int \cdot sin (t) \int

\Leftrightarrow 0 \leq 0

mmh...und nu?

hagman aktiv_icon

17:07 Uhr, 29.05.2010

Ich verstehe deine Schritte ab dem ersten

\Leftrightarrow

nicht.
Ich bin mir auch nicht sicher, ob das plötzliche Auftauchen von

\int sin (t) cos (t) d t

statt

\int \sqrt{sin (t) cos (t)} d t

nur ein Versehen ist.

Rechne doch einfach mal

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (t) d t

sowie

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (t) d t

aus

Und zur Frage davor:
Die Aussagen

P \Rightarrow Q

und

\neg Q \Rightarrow \neg P

sind äquivalent.

sventja

18:46 Uhr, 29.05.2010

Hey,
also das mit der Wurzel war kein Ausversehen, ich dachte, das wär

f^{2} (t) . .

.
Und das Integral von sin ist doch

- cos,

und von

cos

ist es

sin,

oder nicht? so kommen die schritte nach

\Leftrightarrow

zustande

sorry, mir fehlt analysiswissen komplett....

hagman aktiv_icon

19:01 Uhr, 29.05.2010

Erstens:
Es gilt mitnichten

{(\int_{a}^{b} \sqrt{f (x)} d x)}^{2} = \int_{a}^{b} f (x) d x

- cos (x)

und

sin (x)

sind Stammfunktionen zu

sin (x)

bzw.

cos (x)

.
Das macht noch lange nicht

- cos (x) \cdot sin (x)

zu einer Stammfunktion von

sin (x) \cdot cos (x)

Gesucht sind hier die bestimmten Integrale

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (x) d x

und

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (x) d x

.
Diese kannst du natürlich mittels einer Stammfunktion berechnen, und zwar indem du deren Wert an der Untergrenze vom Wert an der Obergrenze subtrahierst.
Somit wird

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (x) d x = - cos (\frac{π}{2}) - (- cos (0)) =

?
und

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (x) d x = sin (\frac{π}{2}) - sin (0) =

rapish aktiv_icon

12:06 Uhr, 30.05.2010

reicht es nicht zu sagen, wegen cauchy-schwarzsche ungleichung folgt

< f, {g >}^{2} \leq < f, f > \cdot < g, g > \Leftrightarrow < f, {g >}^{2} \leq {| | f | |}^{2} \cdot {| | g | |}^{2} \Leftrightarrow

< f, g > \leq | | f | | \cdot | | g | |

so sei nun wie hagman definiert hat

f (t) = \sqrt{sin (t)}

und

g (t) = \sqrt{cos (t)}

und

< f, g >

sei das gegebene Skalarprodukt (hat ja hagman schon oben bewiesen, bloß noch nicht

f (t)

und

g (t)

eingesetzt

| | f | | =

. . . und

| | g | | =

. . . ist

| | f | | \cdot | | g | | \leq 1

?

so und hagman hat dir sogar schon über meinem Beitrag hingeschrieben, was

| | f | |

und was

| | g | |

ist. sein "?" ist in meiner Gleichung einzusetzen

| | f | | =

sqrt(?)

| | g | | =

sqrt(?)

\Rightarrow | | f | | \cdot | | g | | =

sqrt(?)*sqrt(?) = ?

\leq 1

brauchst also nur ausrechnen was ? ist und das dürfte ja nicht schwerfallen
Jetzt brauchste nur noch bemerken, dass hagman's angenommener IR-Vektorraum verknüpft mit einem Skalarprodukt(was ja auch bewiesen wurde) einen Euklidischen Vektorraum bildet. Du hast also einen geeigneten Euklidischen Vektorraum definiert und die Ungleichung verwendet, denn ?

\leq 1

ist wahre Aussage.

- - -

falls i-was nicht stimmt, kanns ja hagman nochmal schöner formulieren :-D)

sventja

18:10 Uhr, 30.05.2010

Also

| | f | | = \int sin (t) d t = - cos (\frac{π}{2}) + cos (0) = 1

und

| | g | | = \int cos (t) d t = sin (\frac{π}{2}) - sin (0) = 1

und dann

< f, g > \leq | | f | | \cdot | | g | | = 1

?
Was hats mit dieser Gleichung

| | f | | =

sqrt(?)

\cdot | | g | | =

sqrt(?) auf sich?
Und was ist ein IR-Vektorraum?

rapish aktiv_icon

20:39 Uhr, 30.05.2010

du weißt nicht was ein IR-Vektorraum ist?

das war Bestandteil von LINA I^^

ein reeller Vektorraum - also Voraussetzung für einen Euklidischen Vektorraum

student7 aktiv_icon

21:20 Uhr, 30.05.2010

Ja, wie siehts denn mit der Gleichung aus? Mit der komme ich auch nicht zurecht. Ich weiß gar nicht wo ich ansetzen soll.. Könnt ihr mir da helfen?

sventja

07:27 Uhr, 31.05.2010

Ach so, klar, was ein

ℝ

-Vektorraum ist, weiß ich. Hatte dein

ℝ

als I und

R

gelesen..

hagman aktiv_icon

07:38 Uhr, 31.05.2010

@student7: Ich weiß gar nicht mehr, wie oft diese Frage in den letzten Tagen kam, aber einen Link konnte ich wiederfinden:
http//www.onlinemathe.de/forum/Cauchy-Schwarz%C2%B4sche-Ungleichung
Hier wär noch ein Link, wo ich die Lösung seit Tagen vergeblich vorkaue:
http//www.onlinemathe.de/forum/Cauchy-schwarze-ungleichung

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