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Beweis: f ist konstant

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Stetigkeit

Tags: Funktion, Stetigkeit

Peter857 aktiv_icon

11:34 Uhr, 06.01.2018

Hallo und ein frohes neues Jahr wünsche ich,

folgende Aufgabe muss ich bearbeiten:

a < b

f : [a, b] \to R

stetig

f

auf

(a, b)

differenzierbar

Zeigen Sie:
Gilt f´(x)=0 für alle

x

aus

(a, b),

so ist

f

konstant.

Mein Ansatz:

Die Bedingungen für den Mittelwertsatz sind erfüllt, also gilt:

Es ex. f´(x)=

\frac{f (a) - f (b)}{a - b}

Da gilt: f´(x)=0 für alle

x

aus

(a, b)

folgt:

0 = \frac{f (a) - f (b)}{a - b}

a < b

also muss

f (a) = f (b)

Könnte man das so stehen lassen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

11:38 Uhr, 06.01.2018

Du hast damit nur bewiesen, dass

f (a) = f (b)

, und nicht, dass

f

konstant ist.
Aber die Idee ist richtig.

Peter857 aktiv_icon

11:42 Uhr, 06.01.2018

Also müsste ich die Gleichung nicht nur für

\frac{f (a) - f (b)}{a - b}

sondern für alle

x

aus

(a, b)

oder?

DrBoogie aktiv_icon

11:43 Uhr, 06.01.2018

Nicht für

a, b

, sondern für beliebige

x, y

aus

[a, b]

Peter857 aktiv_icon

11:50 Uhr, 06.01.2018

Folgt aus meinem Beweis nicht, dass für alle

x, y

aus

(a, b)

gilt:

f (x) = f (y)

da gilt:

0 = \frac{f (x) - f (y)}{x - y}

oder wie zeige ich das?

michaL aktiv_icon

12:07 Uhr, 06.01.2018

Hallo,

gleiche Aufgabe auf www.onlinemathe.de/forum/Gleichungen-mit-Ableitung

Mfg Michael

ledum aktiv_icon

12:08 Uhr, 06.01.2018

Hallo
das musst du schon genauer aufschreiben. ähnlich wie für

a, b,

du weisst schon, wenn konstant, dann ist die Konstante

f (a)

jetzt ein beliebiger Punkt

x_{1} \in (a, b)

zeige dass

f (x_{1}) = f (a)

Gruß ledum

Peter857 aktiv_icon

15:05 Uhr, 06.01.2018

Nach Mittelwertsatz:
f´(x)=

\frac{f (b) - f (a)}{b - a}

f´(x)=0 für alle

x

aus

(a, b)

es folgt: 0=f´(x)=

\frac{f (b) - f (a)}{b - a}

es folgt durch Umformung:

f (b) = f (a)

da dies doch für alle a und

b

aus dem Intervall gilt,da ich, egal welches a und

b

ich nehme, immer die Steigung 0 erhalte (f´(x)=0 für alle

x

aus

(a, b))

müsste

f

doch konstant sein.

Ich verstehe nicht, was da noch zu zeigen ist

ledum aktiv_icon

00:58 Uhr, 07.01.2018

Hallo
wenn du so sicher bist formuliere es für einen festen aber beliebigen Punkt

x 1

aus

(a, b),

wie ich schon vorher gesagt.
Gruß ledum

DrBoogie aktiv_icon

09:52 Uhr, 07.01.2018

"da dies doch für alle a und b aus dem Intervall gilt,da ich"

Da

a

und

b

Dir schon als feste Grenzen vorgegeben sind, kannst Du nicht schreiben "beliebige

a, b

", das wäre ein Namenskonflikt. Schreib also

c, d

oder

x, y

anstelle von

a, b

. Der Rest ist OK.

Peter857 aktiv_icon

12:28 Uhr, 07.01.2018

Okay Danke

michaL aktiv_icon

13:27 Uhr, 07.01.2018

Hallo,

ich will gern hier noch einmal meinen Senf dazu geben, selbst wenn ich denke, dass der Beweis mit etwas Mühe auch direkt zu führen wäre. Dennoch halte ich eine Führung des Beweises per Kontraposition am einfachsten: Sei

f

NICHT konstant, dann ... ist

f ʹ

nicht identisch Null.

Klar, die Punkte sind mit Mittelwertsatz zu füllen, aber das ist nur noch eine Kleinigkeit.

Mfg Michael

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