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Beweis mit O-Notation (Landau-Symbol)

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Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Graphentheorie, Vektorraum

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Tanja24

Tanja24 aktiv_icon

14:03 Uhr, 02.11.2020

Antworten

zu3.: Die Defintion der O-Notation liefert mir mit

δ = 4

und

| x 1 - 0 | < 4

bzw

| x 2 - 0 | < 4

stimmt das bis hierhin?
es gibt ein

c > 0

sodass

| x 1^{2} (1

−

x 2) + (x 2^{3} + x 1) (1

−

x 1^{2}) | \leq c | | x 1 | + {| x 2 |}^{3} |

wie löse ich das jetzt nach

c

auf?

Bildschirmfoto 2020-11-02 um 13.56.13

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

HAL9000

14:16 Uhr, 02.11.2020

Antworten

Inwiefern liefert dir die O-Notation

δ = 4

? Kann ich nicht nachvollziehen. :(

Zu 3.) Man kann sich IRGENDEIN

δ > 0

vorgeben und muss dann die Existenz eines

c > 0

zeigen, für das

∣ g (x_{1}, x_{2}) ∣ \leq c (∣ x_{1} ∣ + {∣ x_{2} ∣}^{3})

für alle

x_{1}, x_{2}

mit

∣ x_{1} ∣ < δ, ∣ x_{2} ∣ < δ

gilt.

Ich würde da eher

δ = 1

wählen. Dann ist nämlich (u.a. durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung)

∣ g (x_{1}, x_{2}) ∣ \leq {∣ x_{1} ∣}^{2} (1 + ∣ x_{2} ∣) + (∣ x_{1} ∣ + {∣ x_{2} ∣}^{3}) \cdot 1 \leq ∣ x_{1} ∣ \cdot 2 + (∣ x_{1} ∣ + {∣ x_{2} ∣}^{3}) \leq 3 (∣ x_{1} ∣ + {∣ x_{2} ∣}^{3})

D.h., für

δ = 1

passt dann

c = 3

.

Tanja24

Tanja24 aktiv_icon

15:29 Uhr, 02.11.2020

Antworten

Super danke, dann versuche ich es mit

δ = 1

weiterhin.
Ich verstehe allerdings die Umformung noch nicht ganz.
Ich nehme auch an es ist

{| x 1 |}^{2}

jeweils oder wie kommst du auf

| x 1 | \cdot 2

?

Antwort

HAL9000

15:32 Uhr, 02.11.2020

Antworten

{∣ x_{1} ∣}^{2} = ∣ x_{1} ∣ \cdot ∣ x_{1} ∣ \leq ∣ x_{1} ∣ \cdot 1

eben wegen

∣ x_{1} ∣ < 1

.

Und es ist

1 + ∣ x_{2} ∣ \leq 1 + 1 = 2

diesmal wegen

∣ x_{2} ∣ < 1

.

Tanja24

Tanja24 aktiv_icon

12:58 Uhr, 03.11.2020

Antworten

OKay das erklärt einiges. Könntest du mir für 4. auch einen Ansatz geben? Ich glaube ich komme da mit der Betragsrechnung nicht weiter.

Antwort

HAL9000

20:50 Uhr, 04.11.2020

Antworten

Ich gehe davon aus, dass sich diese letztere Anfrage mit

www.onlinemathe.de/forum/Ungleichung-loesen-mit-Nebenbestimmung

erledigt hat.

Frage beantwortet

Tanja24

Tanja24 aktiv_icon

00:20 Uhr, 05.11.2020

Antworten

Ja, vielen lieben Dank!

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