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Beweis n-te Ableitung von Sinus

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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Pigmy

Pigmy aktiv_icon

15:58 Uhr, 29.12.2009

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hallo, ich soll folgendes beweisen:

für beliebige n∈N

{

0,1,2...} gilt:

\frac{d^{n}}{d x} sin (x) = sin (x + n \cdot \frac{π}{2})

Wie beweise ich das am schnellsten bzw. einfachsten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

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Antwort

Kosekans

Kosekans aktiv_icon

16:07 Uhr, 29.12.2009

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Induktionsbeweis nach

n

Pigmy

Pigmy aktiv_icon

16:14 Uhr, 29.12.2009

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ok, für

n = 0

gilt die behauptung.
für

n = n + 1

\frac{d^{n + 1}}{d x} sin (x) = sin (x + (n + 1) \cdot \frac{π}{2})

so, jetzt könnte ich zweimal additionstheoreme anwenden und hätte dann

... ... ... ... . = cos (x + n \cdot \frac{π}{2})

und nun?

Antwort

pakaKoni

pakaKoni aktiv_icon

16:24 Uhr, 29.12.2009

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Hallo

Rechne doch zunächst einmal nach, dass

s i n ʹ (x) = c o s (x) = s i n (x + \frac{π}{2})

, und

c o s ʹ (x) = - s i n (x) = c o s (x + \frac{π}{2})

und entswprechend für -sin' und -cos'.

Im Induktionsschritt machst du dann eine Fallunterscheidung nach n mod 4 = 0,1,2,3.

LG

Pigmy

Pigmy aktiv_icon

16:32 Uhr, 29.12.2009

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Sorry, aber ich verstehe es nicht

: (

Antwort

pakaKoni

pakaKoni aktiv_icon

17:12 Uhr, 29.12.2009

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Hallo

Sorry, die Fallunterscheidung ist wohl unnötig.

Rechne nach, dass

c o s (x) = s i n (x + \frac{π}{2})

.
Ich nehme an du weißt, dass sin' = cos gilt.

n \to n + 1

\frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}} = s i n ʹ (x + n \frac{π}{2})

Induktionsvoraussetzung

= c o s (x + n \frac{π}{2})

Ableitung des Sinus

= s i n (x + (n + 1) \frac{π}{2})

siehe oben

ich hoffe, so ists klarer, als das was ich oben geschrieben habe

LG

Pigmy

Pigmy aktiv_icon

17:33 Uhr, 29.12.2009

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ne ist leider nicht klarer. ich werde da nicht schlau draus sorry

Frage beantwortet

Pigmy

Pigmy aktiv_icon

18:26 Uhr, 29.12.2009

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ich habs. danke.

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