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Beweis, periodische Funktion

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Tags: Funktion, nicht-konstante, Periode, periodisch, stetig

flowerpower1234 aktiv_icon

17:03 Uhr, 04.01.2016

Hallo ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Eine Funktion

f : ℝ \to ℝ

heißt periodisch, falls eine reelle Zahl

T > 0

existiert so dass

f (x + T) = f (x)

für alle

x \in ℝ

. Dabei heißt

T

eine Periode von

f

. Weiters heißt

T

die kleinste Periode, falls

T

eine Periode von

f

ist und für jede Periode

T_{2}

von

f

gilt, dass

T \leq T_{2}

(1)

Beweisen Sie folgenden Satz
Jede nicht-konstante, stetige periodische Funktion hat eine kleinste Periode.

(2)

Zeigen Sie im Folgenden, dass die Bedingung der Stetigkeit in obigem Satz notwendig ist. Betrachten Sie dazu die Funktion

f (x) = {1

falls

x \in ℚ,

0 falls

x \notin ℚ,

und zeigen Sie folgende Eigenschaften:
Für jedes positive

q \in ℚ,

ist

f

periodisch mit Periode

q

f

hat keine minimale Periode.

f

ist nicht stetig(auf

ℝ)

Ich hatte keinen richtigen Ansatz für die Aufgabe deswegen hab ich im Netz mal gesucht und bin dann auf folgende Aussage gestoßen:

Hi,
weil

f

nicht konstant ist, gibt es Zahlen

a < b

mit

f (a)

≠

f (b)

.
Wegen der Stetigkeit in

b

gibt es sogar ein

c

mit

a < c < b

und

f (x)

≠

f (a)

für alle

x

mit

c < x < b

.
Es kann also keine Perioden

T

mit

c - a < T < b - a

geben, denn für diese

T

ist

f (a + T)

≠

f (a)

im Widerspruch zur Periodizität.
Daraus folgt, dass keine Periode

T > 0

kleiner als

b - c

sein kann, denn sonst würde es ein Vielfaches von

T

geben, das im Intervall

(c - a, b - a)

liegt, was unmöglich ist.
Es gibt also keine beliebig kleinen Perioden.

ab "Es kann also keine Perioden mit

c - a < T < b - a

geben" hab ich seine Aussage nicht mehr ganz verstanden

Wenn mir jemand seinen Ansatz erklären könnte, oder einen anderen einleuchtenden Ansatz gibt, wäre ich dafür sehr dankbar. Danke im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Sinusfunktion
Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Shipwater aktiv_icon

17:44 Uhr, 04.01.2016

Ist

c - a < T < b - a

so folgt

c < a + T < b

und damit

f (a + T) \neq f (a)

weil ja

f (x) \neq f (a)

für alle

x

mit

c < x < b

gilt (das steht direkt eine Zeile darüber). Jetzt klarer geworden, was Buri gemeint hat?

PhantomV aktiv_icon

17:50 Uhr, 04.01.2016

Hi,

also es kann keine Perioden

T

mit

c - a < T < b - a

geben, denn sonst wäre

c < a + T < b,

und wie oben steht ist dann wegen

f (x) \neq f (a)

für alle

x

mit

c < x < b

auch

f (a + T) \neq f (a),

also

T

keine Periode.

Es kann folglich auch keine Periode

T > 0

geben die kleiner als

b - c

ist, denn sonst wäre

c - a < c - a + T < b - a,

zweite Ungleichung gilt wegen:

c - a + T < c - a + b - c = b - a

.
Also gäbe es eine Periode

T' := c - a + T

mit

c - a < T' < b - a

. Dass solch eine Periode aber gerade
nicht existiert haben wir oben gezeigt.

Also gibt es keine bel. kleinen Perioden. Damit ist die Beh. gezeigt.

Gruß PhantomV

Shipwater aktiv_icon

18:02 Uhr, 04.01.2016

@PhantomV: Warum sollte mit

T

auch

c - a + T

eine Periode von

f

sein? Das stimmt nicht. Man muss es so wie oben zitiert machen und beachten, dass dann ein Vielfaches von

T

im Intervall

(c - a, b - a)

liegen würde (Vielfache einer Periode sind natürlich selbst Perioden). Hier ist es hilfreich zu erkennen, dass das Intervall

(c - a, b - a)

die Länge

b - c

hat. Ist also

0 < T < b - c

eine Periode, so gibt es ein Vielfaches von

T,

das im Intervall

(c - a, b - a)

liegt, was nicht sein kann.
Ich stimme auch nicht damit überein, dass die Behauptung somit schon gezeigt ist. Angenommen, die Menge der Perioden wäre genau

(1, \infty)

. Dann gibt es keine beliebig kleinen Perioden, aber trotzdem keine kleinste Periode. Man muss sich noch überlegen, dass für

C := i n f {T > 0 | f (x + T) = f (x)

für alle

x \in ℝ}

gilt

C \in {T > 0 | f (x + T) = f (x)

für alle

x \in ℝ}

C \geq b - c > 0

folgt aus dem oben zitierten und

f (x + C) = f (x) (x \in ℝ)

kann man sich mit der Stetigkeit von

f

überlegen.

flowerpower1234 aktiv_icon

18:21 Uhr, 04.01.2016

Erst einmal danke für die Antworten. Buris Beitrag hab ich jetzt auch dank euer Hilfe verstanden. Aus euren weiteren Ausführungen bin ich nur noch nicht schlau geworden.

Shipwater aktiv_icon

18:35 Uhr, 04.01.2016

Was ist dir unklar?

flowerpower1234 aktiv_icon

19:08 Uhr, 04.01.2016

Du hast ja gesagt, dass