Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Beweis streng monoton wachsend

Beweis streng monoton wachsend

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
jOnEs

jOnEs

13:18 Uhr, 31.05.2004

Antworten
Hallo,

leider habe ich keine Ahnung mehr, wie ich diese Aufgaben lösen muß:

Zeigen Sie, daß sinh auf R (reelle Zahlen) streng monoton wächst.


sinh ( x )   : =   1 2 ⁢   *   ( ε x ⁢ -   ε - x )
Bitte helft mir schnell bei dieser Aufgabe ...
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
MarcelHu

MarcelHu

14:13 Uhr, 31.05.2004

Antworten
Hallo Jones,

> leider habe ich keine Ahnung mehr, wie ich diese Aufgaben lösen muß:
(Wieso müssen? Da gibt es bestimmt mehrere Lösungen.)

> Zeigen Sie, daß sinh auf R (reelle Zahlen) streng monoton wächst.

Okay, sinh ist diff'bar auf IR. Dann gilt: ( sinh ( x ) ) ′ = ( 1 2 ( e x - e - x ) ) ′ = 1 2 ( e x + e - x )   >   0 ⁢       ∀ x ∈ IR Daraus folgt die Behauptung.

Alternativ:
Weil e^x streng monoton wachsend und -e^(-x) streng monoton wachsend ist
==> sinh(x) ist streng monoton wachsend:
Denn:
Für y < z (y,z aus IR) gilt dann:
sinh(y)=(1/2)[(e^y)+(-(e^(-y)))] < (1/2)[(e^z)+(-e^(-y))] < (1/2)[(e^z)+(-e^(-z))]=sinh(z)

Das erste < gilt, weil die Funktion e^x streng monoton wachsend ist, das zweite, weil die Funktion -e^(-x) streng monoton wachsend ist.

Viele Grüße
Marcel
Frage beantwortet
jOnEs

jOnEs

14:32 Uhr, 31.05.2004

Antworten
Großes Dankeschön für die sehr schnelle Hilfe, Marcel !!!