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Beweisen Integral gleich 0

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Integration

Tags: Integration

nero08 aktiv_icon

20:30 Uhr, 19.03.2011

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Beweisen sie das

$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{2 P I} \frac{\sin (n x)}{x² + n²} d x = 0$

wie soll ich das am Pesten angehen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Gerd30.1 aktiv_icon

20:59 Uhr, 19.03.2011

Schau mal nach, ob

lim \int = \int lim

gilt. Dann ist es ganz einfach!

nero08 aktiv_icon

21:06 Uhr, 19.03.2011

hallo,

wie meinst du das, soll ich für einen beliebiges n den Grenzwert berechnen?

Alx123 aktiv_icon

22:21 Uhr, 19.03.2011

Hallo,
du kannst das Integral erst abschätzen und dann einfach berechnen, es gilt:

\int \frac{\sin (n x)}{x^{2} + n^{2}} d x \leq \int ∣ \frac{\sin (n x)}{x^{2} + n^{2}} ∣ d x \leq \int \frac{1}{x^{2} + n^{2}} d x = \frac{1}{n^{2}} \int \frac{1}{{(\frac{x}{n})}^{2} + 1} d x

Jetzt:

u = \frac{x}{n}

nero08 aktiv_icon

22:51 Uhr, 19.03.2011

hi, danke mal!!!

also wenn ich das ganze ausrechne bekomme ich

$\frac{1}{n} * \arctan (\frac{x}{n})$

gut was mache ich jetzt damit?

n geht gegen unendlich.....

also 1/n geht gegen 0 kann ich jetzt sagen, dass desahlb für das integral 0 rauskommt? das im arctan würde ja auch gegen 0 gehen also kommt da auch 0 raus reicht das als (wäre aber egal den ein Produkt geht gegen 0) Beweis?

das mit den Beträgen verstehe ich nicht ganz wieso is der Betrag von |f(x)*dx|<= |f(x)| *dx (mit dem Dreieckssatz hat das ja net wirklich was zu tun oder?)

des mit dem sinus is mir klar darf ich das einfach so oder nur weil es hier um einen Grenzwert geht und wenn was für einen größeren Wert gilt gegen 0 geht, tut dies auch der kleinere?

Alx123 aktiv_icon

23:00 Uhr, 19.03.2011

Die Stammfunktion ist richtig und wie du schon selbst erkannt hast, geht es gegen Null, das ist schon der Beweis.

Ich habe nur folgendes verwendet:

f (x) \leq ∣ f (x) ∣

ausserdem gilt noch:

Sei

f (x) \leq g (x)

auf

[a, b]

, dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x

das ist alles, ich wollte also mit dem Betrag nur andeuten das man es so nach oben abschätze kann.

Ja, wenn gilt:

0 \leq f (x) \leq g (x)

und auch:

\int_{a}^{b} g (x) d x = 0

dann natürlich auch:

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0

nero08 aktiv_icon

23:12 Uhr, 19.03.2011

okay, dann passt was ich gemacht habe :)

nur das mit dem Betrag ist mir noch nicht ganz klar:

bei uns steht als Hinweis, dass

$| \int_{a}^{b} f (x) d x | \leq \int_{a}^{b} | f (x) | d x$

ich versteh nicht ganz warum der zweite Ausdruck größer sein soll? (erinnert mich ein bisschen an den Dreieckssatz)

Alx123 aktiv_icon

23:18 Uhr, 19.03.2011

Das kommt auch daher, man nennt es auch Dreiecksungleichung für Integrale.
Ein Beispiel:

\int_{- 1}^{1} x d x

Es gilt:

\int_{- 1}^{1} x d x = 0 = ∣ 0 ∣ = ∣ \int_{- 1}^{1} x d x ∣

aber weiter gilt:

\int_{- 1}^{1} ∣ x ∣ d x = 2 \int_{0}^{1} x d x = 1

nero08 aktiv_icon

23:24 Uhr, 19.03.2011

sooo ist das .....

wau, danke du hast mir echt geholfen!!

lg und einen schönen Abend noch :)

Alx123 aktiv_icon

23:24 Uhr, 19.03.2011

Gleichfalls.

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