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Bezierkurven Näherung durch Kreisbögen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Approximation, Bezierkurve, Kreisbogen, Tangent

 
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DKS0708

DKS0708 aktiv_icon

13:44 Uhr, 11.09.2019

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Hallo,

Ich habe eine Bezierkurve geteilt nun möchte ich die Bezierkurve mit Kreisbögen annähern.
(- Wenn die Kreisbögen nicht nah genug an der Bezierkurve sind soll der Bezierkurve nochmal geteilt und noch mehrere Kreisbögen erstellt werden.)
Problem:
- Die glatten Übergänge von Kreisbogen zu Kreisbogen...
Dazu habe ich auch ein Bild gemacht, weil ein Bild mehr sagt als tausend Wörter...
Danke schon mal :-)
MfG



teilung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

22:37 Uhr, 11.09.2019

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Hallo
die Mittelsenkrechte auf S1S4 und die Mittelsenkrechte auf _4R4 treffen sich im gemeinsamen Mittelpunkt. Hilft dir das?
Gruß ledum
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Roman-22

Roman-22

22:56 Uhr, 11.09.2019

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Wenn ich dich richtig verstehe, dann möchtest du nicht nur, dass die beiden Kreisbögen in S4=R1 eine gemeinsame Tangente haben, sondern doch möchtest, dass die Tangtente in S1 die Gerade S1S2 ist, die Tangente in S4=R1 die Gerade S3R2 und die Tangente in R4 soll R3R4 sein.
Ist das richtig?
Falls ja, dann ist dieser Wunsch i.a. leider nicht erfüllbar.

Möglich wären zwei Kreise, die in S4=R1 die Gerade S3R2 als gemeinsame Tangente haben und durch Anfangs bzw. Endpunkt deiner Kurve laufen. IdR werden in den Endpunkten aber die Tangenten NICHT mit S1S2 oder R3R4 übereinstimmen. Und wenn du dann weiter unterteilst bekommst du dann an den Übergangspunkten natürlich Probleme.
Du kannst dir also nur an einem der beiden Enden eines Bezier-Kurvenstücks wünschen, dass der Kreisbogen die Bezierkurve berühren soll, denn zwei Linienelemente (= Punkt mit zugehöriger Tangente) sind zu viele Angabestücke für eine Kurve zweiter Ordnung (wie das ein Kreis eben ist). Da müsstest du schon mit einer Kurve dritter Ordnung nähern, aber Bezier-Kurven mit vier Kontrollpunkten (so wie eben die deinen) sind ja bereits Kurven dritter Ordnung!

Warum möchtest du denn ausgerechnet mit Kreisbögen nähern?

Beigefügte Zeichnung zeigt die Bezierkurve mit ihren Führungspunkten und die beiden oben erwähnten Kreisbögen. Gerade am rechten Ende ist deutlich erkennbar, dass sich Bezier-Kurve und Kreis dort NICHT berühren.
Am linken Ende ist das zwar genau so, aber nicht so stark unterschiedlich, sodass man erst in der Zoom-Ansicht im rechten Bildteil erkennt, dass die grüne Führungslinie keine Tangente des roten Kreisbogens ist.



B
DKS0708

DKS0708 aktiv_icon

10:10 Uhr, 13.09.2019

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Danke erstmal.. :-)
Ja, genau so meinte ich es mit der Teilung.. schade..

Ich brauche das für eine Maschine, die mit Bezierkurven nichts anfangen kann und nur Kreisbögen zur Verfügung hat.


Ich bin noch am Überlegen wie ich es lösen könnte. Grundsätzlich wichtig sind die Verbindungspunkte von den Kreisbögen, die müssen auf jeden Fall auf der Bezierkurve liegen und denselben Krümmung haben bei den Übergängen.


Könnte man nicht (beispielsweise) von links anfangen und nach rechts die Kreisbögen Bilden?
Also nach der ersten gewünschten bzw. optimalen Kreisbogen nach rechts weiterteilen.
Antwort
Roman-22

Roman-22

16:52 Uhr, 13.09.2019

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> Ich bin noch am Überlegen wie ich es lösen könnte. Grundsätzlich wichtig sind die Verbindungspunkte von den Kreisbögen, die müssen auf jeden Fall auf der Bezierkurve liegen und denselben Krümmung haben bei den Übergängen.

Dieselbe KRÜMMUNG??? Wirklich? Wenn ein Kreisbogen berührend in einen ANDEREN Kreisbogen übergeht, dann ändert sich zwangsläufig die Krümmung abrupt (sonst wäre ja alles der gleiche Kreis)

> Könnte man nicht (beispielsweise) von links anfangen und nach rechts die Kreisbögen Bilden?
> Also nach der ersten gewünschten bzw. optimalen Kreisbogen nach rechts weiterteilen.
Was soll der erste "optimale" Kreisbogen sein? Er würde am linken Ende die Bezierkurve nicht berühren. Der zweite Kreisbogen könnte an seinem linken Ende den ersten Kreisbogen und auch die Bezierkurve berühren, nicht aber am rechten Ende (so wie eben in meiner Zeichnung gezeigt. Und wie soll nun der dritte Kreisbogen anschließen? Soll sein linkes Ende die Bezierkurve berühren oder den zweiten Kreisbogen?

Wenn deine Maschine kreisförmige Bewegungen schafft, dann doch auch sicher lineare auch, oder? Dann stückle dir deine Bahn doch einfach aus einer Reihe kleiner Streckenzügen zusammen.


DKS0708

DKS0708 aktiv_icon

11:15 Uhr, 16.09.2019

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Sorry hab mich falsch ausgedrückt dieselbe Steigung und sehr ähnliche Krümmung auf dem Übergangspunkt damit da keine MC Logo entsteht…

Muss leider Kreisbögen sein, eine Bahn aus einer Reihe kleiner Streckenzügen ist in meinem Fall leider keine Option, weil die Maschine so immer die stellen verbrennt……

Mir würde schon mal weiterhelfen wie du die beiden Kreisbögen mathematisch gelöst hast, darauf kann ich evtl. bauen.

Mit optimale mein ich halt ein Kreisbogen, was so nah wie möglich an der Bézierkurve verläuft. Dies will ich durch Teilen der Bézierkurve erhalten. Wie Beispielsweise die Zeichnung was ich gemalt habe war zuerst eine Bezierkurve die ich durch zwei geteilt habe, genau so will ich die linke Bezierkurve nochmal teilen usw.

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Roman-22

Roman-22

11:51 Uhr, 16.09.2019

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Die Kreise habe ich i.W. so ermittelt, wie ledum es in ihrer Antwort beschrieben hat.
Die Streckensymmetrale von S1S4 geschnitten mit der Normalen auf die Gerade S3S4 durch den Punkt S4 liefert den Mittelpunkt M1 des ersten Kreises. Sein Radius ist natürlich r1=M1S1¯=M1S4¯.

Wie schon gesagt, kannst du mit Kreisen die Berührung nur an einem "Ende" erreichen, nicht an beiden, am anderen Ende wirds dann wohl einen mehr oder weniger starken Knick geben.
Wenn du in genügend kleine Teilsegmente zerteilst werden diese Knicke möglicherweise weniger ausmachen.

Eventuell könnte es auch eine zufriedenstellendere Lösung geben, wenn man die Forderung, dass die Bezierkurve berührt werden soll, fallen lässt.

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