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Charakteristisches Polynom faktorisieren

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

matheass14 aktiv_icon

09:58 Uhr, 26.04.2015

Hallo,

Ich habe von einer Matrix das charakteristische Polynom berechnet:

χ (λ) = - λ^{3} + p

mit

p \in ℝ

.

Ein Eigenwert wäre ja

λ_{1} = \sqrt[3]{p}

. Wie kann ich jedoch das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerlegen? Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung)

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10:28 Uhr, 26.04.2015

Allgemein kann man

p (x)

mit den Nullstelle

a

faktorisieren, indem man die Polynomdivision

p (x)

durch

x - a

durchführt.
In diesem Fall ist es nicht nötig, denn es gibt die fertige Formel

x^{3} - a^{3} = (x - a) (x^{2} + a x + a^{2})

matheass14 aktiv_icon

10:52 Uhr, 26.04.2015

Hier könnte man es so machen:

χ (λ) = p - λ^{3} = (\sqrt[3]{p} - λ) (p^{\frac{2}{3}} + λ \sqrt[3]{p} + λ^{2}

)

Dann wären doch die Eigenwerte

λ_{1} = \sqrt[3]{p}, λ_{2 / 3} = \frac{- \sqrt[3]{p} \pm \sqrt{- 3 p^{2 / 3}}}{2}

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10:58 Uhr, 26.04.2015

Ja, so geht es. Es gibt noch zwei komplexe Nullstellen.
Alle drei zusammen kann man in der Form

\sqrt[3]{p} \cdot e^{i 2 k π / 3}

mit

k = 0, 1, 2

schreiben.

matheass14 aktiv_icon

13:26 Uhr, 26.04.2015

Okay, danke.

matheass14 aktiv_icon

16:02 Uhr, 26.04.2015

Noch eine Frage:

Für

p \neq 0

wäre doch die Matrix diagonalisierbar und die Jordan-Normalform wäre eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonale, oder?

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16:06 Uhr, 26.04.2015

Ja, alle Eigenwerte verschieden => diagonalisierbar.

exit007 aktiv_icon

22:48 Uhr, 28.04.2015

An DrBoogie: Wie kommt man drauf, dass es 2 komplexe Nullstellen gibt?

DrBoogie aktiv_icon

07:10 Uhr, 29.04.2015

- 3 p^{2 / 3}

ist negativ, daher kann

\sqrt{- 3 p^{2 / 3}}

nicht reell sein.

DrBoogie aktiv_icon

07:25 Uhr, 29.04.2015

Oder man weiß einfach, wo die Einheitswurzel liegen:
http//de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel
Denn eine beliebige Wurzel kann man auf eine Einheitswurzel zurückführen.

exit007 aktiv_icon

13:52 Uhr, 29.04.2015

ach so, danke. Jetzt hab ichs verstanden. In der nächsten teilaufgabe soll die Jordan normalform und das minimalpolynom berechnet werden. Da ich jetzt die eigenwerte habe, habe ich zuerst das minimalpolynom berechnet: (EW1-Lambada)(EW2-lambda)(EW3-lambda) (

=

Char. Polynom). Passt das bisher? Je Algebraische vielfacher 1.

Wenn es passt, ist dann die Jordan normalform eine

3 x 3

Matrix mit den EW auf der Hauptdiagonalen?

DrBoogie aktiv_icon

14:08 Uhr, 29.04.2015

Ja, wenn alle Eigenwerte verschieden sind (wie hier), dann ist Minimalpolynom=Char. Polynom und Jordan-Normalform ist Diagonalmatrix.

exit007 aktiv_icon

14:28 Uhr, 29.04.2015

Dr.Boogie, ich habe versucht, jetzt zu prüfen, ob das Minimalpolynom richtig ist. Leider bekomme ich für (EW1*Einheitsvektor - A)(EW2*Einheitsvektor - A)(EW3*Einheitsvektor

- A)

KEINE nullmatrix raus. habe ich mich nur verrechnet, oder liegt sonst ein Fehler vor?

DrBoogie aktiv_icon

14:51 Uhr, 29.04.2015

Nun, ich kann nicht wissen, was Du machst.
Das hier:
(EW1*Einheitsvektor - A)(EW2*Einheitsvektor - A)(EW3*Einheitsvektor -A)
ist auf jeden Fall etwas komisch, denn es muss "Einheitsmatrix" stehen und nicht Vektor.
Aber

(λ_{1} E - A) (λ_{2} E - A) (λ_{3} E - A)

ist mit Sicherheit

0

, wenn man richtig rechnet. Wozu soll man das aber machen?

exit007 aktiv_icon

15:29 Uhr, 29.04.2015

Hi, hast recht, es muss einheitsMATRIX heißen. anscheinend hab ich mich wohl irgendwo verrechnet

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