 |
 |
 |
 |
 |
 |
DRINGEND!!! Monotonieverhalten
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Analysis, Differenzenqoutient, Monotonieverhalten
 
|
  |
|---|
|
Hallo, ich morgen eine Klausur in Mathematik aber komme gerade nicht weiter: Die Aufgabe besteht darin, Nullstellen , Ableitung sowie Monotonieverhaten der Funktion f(x)= x³ - x² -x +1 zu bestimmen. Die Nullstellen habe ich mit der Polynomdivision bestimmt. x= -1 und x=1 Die Ableitung ist f´(x)= 3x²-2x-1 Meine Ergebnisse stimmen auch mit dem Graphen bei Geogebra überein. Mein Problem besteht nun darin, dass ich das Monotonieverhalten nicht bestimmen kann... Ich weiß zwar, dass wir da was mit dem Differenzenquotient gemacht haben aber wie? Nimmt man dafür f(x) oder die Ableitung? Außerdem weiß ich nicht woher man rauskriegt wann es steigt pder fällt.. stimmt: x > 1 steigt x< 1 fällt ?? Ich habe versucht mein Problem darzustellen, übe schon seidt Tagen, bin am verzwifeln, vielen dank im vorraus lg |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff) |
|
 |
|
Hallo, eigentlich ganz einfach. Daß Du mit der Ableitung den Anstieg der Funktion in einem Punkt errechnen kannst, das weißt Du sicher. Wenn also die Ableitung größer Null ist, dann steigt die Funktion an und ist die Ableitung kleiner Null, dann fällt die Funktion. Was brauchst Du also? Die Nullstellen der Ableitung, weil nur dort sich das Vorzeichen der Ableitung ändern kann. Mit den maximal 2 Nullstellen (x_1 und x_2 mit x_1 kleiner gleich x_2) hast Du nun maximal 3 Intervalle: (-oo;x_1), (x_2;oo) und wenn x_1 ungleich x_2 ist auch noch (x_1;x_2). |
|
|
|
Hallo tasche eine Funktion ist dort steigend, wo die erste Ableitung positiv ist. Sie ist dort fallend, wo die erste Ableitung negativ ist. Die erste Ableitung, die du ja schon berechnet hast, ist zwischen und negativ. Dort fällt die Funktion also, d.h. ist monoton fallend. Bei und bei ist die erste Ableitung positiv, dort ist die Funktion also monoton steigend.
Alles klar?
Gruss
Paul |
 |
|
hallo, erstmal danke für eure antworten trotzdem ist die ganze sache für mich etw unverständlich :S ich habe bei geogebra die funktion eingegeben und erhalte A max -0,33/1,19 B min 1/0 das heißt bis A steigt sie und fällt bis 1 und steigt anschließend wieder... Aber wie komme ich denn selbst darauf? SO: ?? ableitung > 0 (also dort fällt sie) und dann x1 und x x2 durch quadrtische ergänzung bestimmen?? bitte bitte helft mir bin grade echt am verzweifeln :( lggg |
|
|
|
paulus... wie kommst du denn auf -13 und 1?? kannst du mir viellleicht netterweise die rechnung aufschreiebn?? :( |
|
|
|
Hallo tasche
ich komme nicht auf -13, sondern auf - 1 Drittel.
Es muss ja gelten:
für die Steigung. Da habe ich einfach die Gleichung nach x aufgelöst. Ergibt die beiden Lösunge 1 und -1/3. Dann bei einem Zwischenwert geprüft, ob positiv oder negativ. Ich habe einfach 0 als Zwischenwert genommen. Ergibt -1, somit monoton fallend innerhalb des Intervalls. Damit ausserhalb des Intervalls monoton steigend.
Alles klar?
Gruss
Paul |
|
|
|
sorry aber ich habs nicht so ganz verstanden:( die ableitung war doch f´(x)= 3x²-2x-1 ok, dann hast du die nullstellen berechnet das hab ich auch raus -0,3333333 (also -1/3 ) und 1 aber woher soll ich denn wissen ob sie bis dahin steigt oder fällt? du hast irgendwas mit zwischenwert hingeschrieben, kannst du das vielleicht erläutern? wir haben die ableitung >0 gesetzt um zu sehen bis wann sie steigt. und hatten dann 2 werte raus... hmmm |
|
|
|
muss man da irgendwas mit der 2.ableitung machen? das hatten wir nämöich noch nicht... |
|
|
|
Hallo tasche
ja, die Steigung hat die Funktion
Die kannst du als Funktion auffassen, und zwar ist diese Funktion stetig:
Weil die Funktion stetig ist, muss sie zwischen den beiden Nullstellen überall entweder negativ sein oder positiv. Darum habe ich einfach mit einem x-beliebigen Punkt zwischen -1/3 und +1 getestet, ob der Funktionswert positiv oder negativ ist. Dabei schien es mir am Einfachsten zu sein, x = 0 zu setzen.
Das gibt also:
Damit ist die Funktion im ganzen Intervall zwischen -1/3 und +1 negativ. Diese Funktion ist aber die erste Ableitung, deshalb ist die erste Ableitung im ganzen Intervall -1/3 bis +1 negativ.
Ich würde vielleicht die Funktion einmal ins Koordinatensystem eintragen, dann verstehst du evtl. etwas besser, was ich meine. Das ist ja eine Parabel, die von links oben nach rechts fällt (im positiven y-Bereich), bei x=-1/3 durch die x-Achse sticht, in den negativen y-Bereich, und bei x=+1 wieder positiv wird. Zwischen -1/3 und +1 muss sie immer negativ sein (Zwischenwertsatz bei stetigen Funktionen).
Alles etwas klarer?
Gruss
Paul |
|
|
|
ahaaa so langsam verstehe ich das... also man berechnet zuerst die nullstellen der ableitung, danach setzt man in die ableitung einen wert ein, der zwischen den beiden ergebnissen liegt. danach guckt man ob das ergebnis positiv oder negativ ist ist das ergebnis negativ(positiv), so ist die ableitung in dem intervall von den beiden ergebnissen auch negativ(positiv) IST DAS ALLES RICHTIG SO? Hab ich annäherungsaweise verstanden? na ja ein paar kleine fragen hätte ich aber noch: du hattest geschriebn: Bei x   2 ist die erste Ableitung positiv, dort ist die Funktion also monoton steigend. wie kommst du denn plötzlich auf die 2?! und was heißt die funktion ist stetig? vielen dank |
|
|
|
Hallo tasche
ja, du hast alles richtig verstanden.
Ach das mit der 2. Das war nur ein SEHR, SEHR DUMMER Schusselfehler von mir.
Selbstverständlich muss es x > 1 heissen! SORRY!
Liebe Grüsse, ich drücke dir die Daumen!
Ich muss jetzt leider weg, hoffe aber, dass ich dir ein Wenig helfen konnte.
Viel Glück bei der Klausur!! :-)
Paul
|
|
|
|
paul, ich weiß gar nicht wie ich mich bei dir bedanken soll, ich habs endlich geschnallt ;) vielen vilen dankk du hast mir soooo sehr geholfennn DANKEEEE |
