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Defber/Polstelle/heb Definitionslücke einer Fkt

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Definitionsbereich, Gebrochen-rationale Funktionen, Hebbare Lücken, Polstelle

Blackhawk001 aktiv_icon

13:42 Uhr, 27.01.2010

Hi @ all,
ich habe eine Frage zu einer gebrichen rationalen Funktion.
Die Fkt: fk(x)

= \frac{x}{x^{2} + x + k}

k

ist element von

R

Ich bekomme es einfach nicht hin, den Definitionsbereich (per Fallunterscheidung), die Polstellen und die hebbaren Definitionslücken zu ermitteln...

bitte helft mir...

Vielen Dank!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

vulpi aktiv_icon

14:00 Uhr, 27.01.2010

Hi,
bestimm doch einfach die Diskriminante Ds für die quadr. Gl. des Nenners.
Für Ds

= 0

gibt es eine (doppelte) Nullstelle im Nenner

\Rightarrow D = ℝ

{

x_0}
Für Ds

> 0

gibt es 2 Nullstellen

\Rightarrow D = ℝ

{

X_1,X_2}
und für Ds

< 0

gibt es in

ℝ

keine Nullstelle

\Rightarrow D = ℝ

Behebbar ist eine Def.-Lücken, wenn eine Nullstelle, genauer ein Linearfaktor

x - x_{0}

rausgekürzt werden kann,
was für

k = 0

dann mit der Nenner-Nullstelle

x_{0} = 0

möglich ist,
da im Zähler nur

(x - 0)

im Angebot ist.

Die neue Funktion lautet dann

\frac{1}{x + 1}

und ist für

x = 0

definiert.

mfg

Blackhawk001 aktiv_icon

14:13 Uhr, 27.01.2010

müssen die ergebnisse für die definitionslücke nicht von

k

abhängig sein ?

ich habe gerade auch nochmal gerechnet und dies bekommen...

x^{2} + x + k = 0

pq-Formel:

x = - \frac{1}{2} \pm

wurzel

((\frac{1}{4}) - k)

\to k = 0 x = - \frac{1}{2} +

wurzel(1/4)

\to D =

ℝ

{- \frac{1}{2} \pm

wurzel

(\frac{1}{4})}

\to k > 0 x = - \frac{1}{2} \pm

wurzel((1/4)-k)

\to D =

ℝ

\to k < 0 x = - \frac{1}{2} \pm

wurzel

((\frac{1}{4}) + k) \to

D=ℝ

{- \frac{1}{2} \pm

wurzel

(\frac{1}{4} + k)}

vulpi aktiv_icon

14:40 Uhr, 27.01.2010

Hi, jetzt bist du ja auf dem (fast) richtigen Weg.

Bei der Fallunterscheidung mußt du aber die Diskriminante nach

<, =, > 0

unterscheiden,
und NICHT

k

. Das

k

und die Nullstelle(n) ergeben sich dann jeweils.

Die Diskriminatne ist der Term unter der Wurzel, oder auch ein pos. mehrfaches davon.
Dis

= 1 - 4 k

Faall 1:
Dis

> 0 \Rightarrow 1 - 4 k > 0 \Rightarrow k < \frac{1}{4}

Die Nullstellen dazu, also für

k < \frac{1}{4}

sind dann

- \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{4}) - k}

Der Ausdruck in der Wurzel bleibt

> 0

Nach diesem Motto sind dann auch die beiden anderen Fälle zu behandeln.

mfg

Blackhawk001 aktiv_icon

14:51 Uhr, 27.01.2010

sry, dass ich mich so doof anstelle, aber von diskriminante hab ich noch nie was gehört...
also is für den fall dis

= 0

folgendes:

dis

= 0 \to 1 - 4 k = 0 \to k = \frac{1}{4}

aber was sagt mir das über den definitionsbereich aus ????
ich versteh das mit der diskriminanten nicht...
das weitere was ich noch nicht ganz verstehe ist, was ich und warum ich die nullstellen brauch... ich muss ja den definitionsbereich rausbekommen...

vulpi aktiv_icon

15:21 Uhr, 27.01.2010

Hi, der kritische Punkt bei der pq-Formel ist die Wurzel !
Die Wurzel bestimmt die Anzahl der Lösungen:

Ist der Ausdruck unter der Wurzel

< 0,

gibt es keine Lösung.

Also mußt du diesen Ausdruck nach

> 0, = 0, < 0

unterscheiden.
Unterscheiden heißt so viel wie diskriminieren, daher Diskriminante.
Normalerweise nimmt man aber nicht

{(\frac{p}{2})}^{2} - q,

also den Term unter der Wurzel,
sondern das ganze mal

4,

sprich

p^{2} - 4 q

als Diskriminante,
weils mit ganzen Zahlen wohl cooler ist.
Das Resultat bleibt das gleiche.

So, jetzt hast du jeweils die Nullstellen des NENNERS,

d . h .,

für diese Werte für

x

ist die Funktion nicht definiert,
da eine Division durch 0 nicht definiert ist.
Für alle anderen Werte des Nenners ist der Quotient aber definiert.
Damit ist

D

jeweils

ℝ

ohne die Nenner-Nullstellen.
Da der Def-Bereich angegeben werden soll, müssen diese Nullstellen auch bestimmt werden. Wieder abhängig von

k

.

Aber, wie gesagt, ob und wieviele Nenner-Nullstellen es gibt, hängt von

k

ab.
Das muß man jeweils fallunterscheiden.
Also für

k < \frac{1}{4}

für

k = \frac{1}{4}

für

k > \frac{1}{4}

mfg

Blackhawk001 aktiv_icon

15:42 Uhr, 27.01.2010

vielen dank schonmal für deine geduld und deine hilfe!!! :-) echt vielen dank

Dann müsste der Definitionsbereich doch so aussehen:

1.Fall: Dis

< 0

1 - 4 k < 0

k > \frac{1}{4}

- \frac{1}{2} \pm

wurzel

(\frac{1}{4} - k) = x

D = R

2.Fall: Dis

= 0

1 - 4 k = 0

k = \frac{1}{4}

- \frac{1}{2} \pm

wurzel

(\frac{1}{4} - k) = x

x = - \frac{1}{2}

D = R {- \frac{1}{2}}

3.Fall: Dis

> 0

1 - 4 k > 0

k < \frac{1}{4}

- \frac{1}{2} \pm

wurzel

(\frac{1}{4} - k) = x

D = R {- \frac{1}{2} \pm

wurzel

(\frac{1}{4} - k)}

wobei

k < \frac{1}{4}

so richtig ?
und dann habe ich den definitionsbereich...
wie bekomm ich daraus die Polstellen bzw hebbare Definitionslücken

Polstelle ?

: x^{2} + x + k = 0 \to k = - (x^{2} + x)

\to

polstlle ist dort wo

k = - (x^{2} + x)

vulpi aktiv_icon

15:58 Uhr, 27.01.2010

Hi, das sieht soweit ja jetzt sehr ordentlich aus.
Polstellen sind wiederum die Nenner-Nullstellen, an denen der Quotient dann gegen

\frac{k}{0}

strebt,
als gegen

+

oder

- \infty

verläuft.

Sonderfall ist für

k = 0

gegeben.

Da hat die Funktion für die Nenner-Nullstelle

x = 0

die Form

\frac{0}{0},

kürzt man

x

raus,läßt sich diese Def-Lücke stetig beheben.

Aus

\frac{x}{x^{2} + x} = \frac{x}{x \cdot (x + 1)}

wird dann

\frac{1}{x + 1},

also

f (0) = 1

in diesem Fall liegt also keine Polstelle vor,
der Grenzwert für

x \to 0

ist da 1

mfg

Blackhawk001 aktiv_icon

16:07 Uhr, 27.01.2010

jetzt muss ich noch die fälle

k \to \pm \infty

betrachten oder ?

nur an der stelle komm ich nicht weiter...

ist eine polstelle nicht dort wo,

p \neq 0

und

q = 0

(sei

f (x) = \frac{p}{q})

d . h

. fk(x)=

\frac{x}{x^{2} + x + k} = \frac{p}{q}

aber was dann ???

vulpi aktiv_icon

16:51 Uhr, 27.01.2010

Bei den Polstellen mußt du halt angucken, wo da die Funktionen nach

+ \infty

bzw

- \infty

streben.

Z . B

. der Fall

k = \frac{1}{4} \Rightarrow x_{0} = - \frac{1}{2}

Da nachprüfen, was die Funktion für

x \to - \frac{1}{2}

macht,
und zwar von recht und von links angenähert.

mfg

Blackhawk001 aktiv_icon

16:57 Uhr, 27.01.2010

ich glaub ich habs verstanden... vielen dank nochmal für die hilfe und deine mühen!!! :-)
vieln dank!!

MfG

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