Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Definitionen (obere Schranke, usw...)

Definitionen (obere Schranke, usw...)

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Maximum, Mengentheoretische Topologie, Relation., Supremum

Astasor aktiv_icon

15:00 Uhr, 13.02.2010

Habe hier eine Aufgabe die ich auch schon gelöst habe. Nun muss ich halt nur wissen ob mein Kram richtig ist.

Es sei

[M, \leq]

eine halbgeordnete Menge und

X \subseteq M

Nun muss ich die obere Schranke, Maximum, Supremum und das maximale Element definieren.

Da hab ich folgendes:

obere Schranke:

(\forall (x \in X) (s \in M \land s

\!el

X) : s > x)

Für alle

x

aus

X

und für ein Element

s

aus

M

gilt: Jedes

s

ist größer als

x

. Da somit kein

x

größer als

s

ist, müsste

s

die obere Schranke sein.

Maxmimales Element:

\forall (x \in X) (b \in M) : x \leq b

Für alle

x

aus

X

und für ein

b

aus

M

gilt:

x

ist kleiner gleich

b

.

Supremum:

(\forall (x \in X) (b \in M) : b > x)

Für alle

x

aus

X

und für ein

b

aus

M

gilt:

b

ist größer als

x

.

Maximum:

(\forall (x_{1}, x_{2} \in X) (b \in M) : x_{1} > x_{2} \land x_{1} < b)

Für alle

x_{1}

und

x_{2}

aus

X

und für

b

aus

M

gilt:

x_{1}

ist größer als

x_{2}

und kleiner als

b

.

Nun noch ein paar Fragen:

Ist meines so richtig? Muss ich das

b

oder

s

auch quantifizieren? Stimmt die Schreibweise?

Vielen, vielen Dank fürs lesen.

mfg Astasor

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

18:19 Uhr, 13.02.2010

1. Was heisst hier "passend gewählte Menge"? Offenbar trägt

M

noch eine zusätzliche Struktur vom

\leq

her. Ist das eine Teilordnung? Eine Titale Ordnung? Möglicherweise gar eine Wohlordnung?

2. Die Formel

(\forall (x \in X) (s \in M \land s \notin M) : s > x)

ergibt wohl wenig Sinn, denn

s \in M \land s \notin M

ist ja wohl immer falsch.
Was willst du überhaupt definieren? Dass

X

eine obere Schranke hat? Oder dass

s

eine obere Schranke für

X

ist?

3. Was soll

(\forall (x \in X) (b i

nM):

b > x)

denn bedeuten? Sieht fast so aus, als ob du "Für alle

x \in X

und

b \in M

gilt, dass

b

größer als

x

ist" meintest.

Astasor aktiv_icon

18:31 Uhr, 13.02.2010

Hatte mich tatsächlich verschrieben.

M

ist eine halbgeordnete Menge. Also eine Halbordnung. Außerdem habe ich die andere Formel korrigiert.

Ich will verschiedene Dinge für die Teilmenge

X

definieren.

2. Die Formel (∀(x∈X)(s∈M∧s∉X):s>x) ergibt wohl wenig Sinn, denn s∈M∧s∉M ist ja wohl immer falsch.
Was willst du überhaupt definieren? Dass

X

eine obere Schranke hat? Oder dass

s

eine obere Schranke für

X

ist?

Da wollte ich die obere Schranke definieren. Nicht die kleinste obere Schranke sondern irgendeine obere Schranke.

3. Was soll (∀(x∈X)(b

\in M) : b > x)

denn bedeuten? Sieht fast so aus, als ob du "Für alle x∈X und b∈M gilt, dass

b

größer als

x

ist" meintest.

Das sollte die Definition meines Supremus sein. Denn das Supremus ist ja die kleinste obere Schranke und muss nicht unbedingt in

X

liegen. Wenn es nicht in

X

liegt, hat

X

halt kein Maximum. Denn es gibt immer eine Zahl die unter dem Supremus liegt aber größer als alle unter ihr ist.

Stimmt meine Schreibweise so? Muss ich zwischen den Definitionen der Quantoren noch ein

\land

oder ein

\lor

einfügen oder geht das so?

hagman aktiv_icon

19:11 Uhr, 13.02.2010

Wenn ihr nicht einen merkwürdigen "Dialekt" für die Schreibung von Quantoten verwendet, bedeuten die Quantoren folgendes:

\forall x \in A : Φ (x)

Für alle Elemente

x

der Menge A gilt die Eigenschaft

Φ (x)

\exists x \in A : Φ (x)

Es gibt ein Element

x

der Menge

A,

welches die Eigenschaft

Φ (x)

hat.
Es gibt eine Art "Purismus" (der auch unten eine Rolle spielt), wonach man keine Element-Bedingung an die quantisierten Variablen stellen soll. In dem Sinne sollten obige Formeln lieber

\forall x : (x \in A \Rightarrow Φ (x))

bzw.

\exists x : (x \in A \land Φ (x))

geschrieben werden.

Zur Definition von "obere Schranke": Wir wollen beispielsweise ausdrücken, dass

t

obere Schranke von

X

ist.
Dazu muss erstens

t

ein Element von

M

sein und zweitens muss jedes Element von

X

kleiner-gleich

t

sein (insb. mit

t

überhaupt vergleichbar!)
Das schreibt sich formal dann

t \in M \land \forall x \in X : x \leq t

Wenn

b

Maximum der Menge

X

sein soll, heisst das, dass

x

eine in

X

liegende obere Schranke ist, also

b \in X \land \forall x \in X : x \leq b

Maximales Element ist etwas anders (jedenfalls bei einer allgemeinen Halbordnung), nämlich ein Element von

X,

zu dem kein größeres Element existiert. Formal

m \in X \land \forall x \in X : (m \leq x \Rightarrow m = x)

Das kann man jetzt zum Begriff des Supremums zusammenbasteln:

s

heisst Supremum von

X,

wenn es die kleinste obere Schranke ist, also Minimum (und nicht etwa minimales Element!) der Menge aller oberen Schranken.
Also Schritt für Schritt:
Die Menge

S

aller oberen Schranken von

X

ist laut oben

S = {t \in M | \forall x \in X : x \leq t}

Dass

s

Minimum von

S

ist drückt sich (analog zu Maximum oben) aus als

s \in S \land \forall y \in S : s \leq y

Jetzt kann man das

S

noch hieraus eliminieren:

s \in S

heisst ja einfach

s \in M \land \forall x \in X : x \leq s

. So haben wir schon einmal

s \in M \land (\forall x \in X : x \leq s) \land (\forall y \in S : s \leq y)

Wie wird man das

S

in der Bedingung des Allquantors los?
Nun, hier rächt sich die vereinfachende Schreibweise mit Bedingungen an die quantisierte Variable.
Statt zu sagen "Für alle

x

in der Menge A trifft die Eigenschaft

Φ (x)

zu", ist es zumindest für den nächsten Schritt sinniger,

x

nicht auf Elemente von A einzuschränken, sondern zu sagen "Für alle

x

gilt, dass, wenn sie Element von A sind, die Eigenschaft

Φ (x)

zutrifft" (vgl oben).
Das bedeutet, dass wir zumindest vorübergehend statt

\forall x \in A : Φ (x)

lieber mal

\forall x : (x \in A \Rightarrow Φ (x))

schreiben.
Somit wären wir jetzt bei

s \in M \land (\forall x \in X : x \leq s) \land \forall y : (y \in S \Rightarrow s \leq y)

Hierbei können wir jetzt

y \in S

durch

y \in M \land \forall x \in X : x \leq y

ersetzen:

s \in M \land (\forall x \in X : x \leq s) \land \forall y : ((y \in M \land \forall x \in X : x \leq y) \Rightarrow s \leq y)

Jetzt überlegt man sich noch dass aussagenlogisch allgemein

(p \land q) \Rightarrow r

äquivalent zu

p \Rightarrow (q \Rightarrow r)

ist, also haben wir

s \in M \land (\forall x \in X : x \leq s) \land \forall y : (y \in M \Rightarrow ((\forall x \in X : x \leq y) \Rightarrow s \leq y))

Das ist jetzt wieder von der Form, die wir mit eingeschränkten Variablen schreiben können:

s \in M \land (\forall x \in X : x \leq s) \land \forall y \in M : ((\forall x \in X : x \leq y) \Rightarrow s \leq y))

Der eine oder andere Autor zieht noch gerne Quantoren nach vorne, bis letztlich

\forall y \in M : \forall x \in X : (s \in M \land x \leq s \land (x \leq y \Rightarrow s \leq y))

da steht, aber das ist schon Geschmackssache und kann als verwirrend aufgefasst werden.

Astasor aktiv_icon

13:18 Uhr, 14.02.2010

Vielen Dank, hagman. Nun werde ich es mir nochmal genau angucken, damit ich es später auch erklären kann, falls es nötig werden sollte.

722844

722587

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?