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Definitionsbereich / Wertebereich bestimmen

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Tags: Definitionsbereich, Wertebereich

tropmaline aktiv_icon

19:17 Uhr, 01.04.2012

hallo, ich muss von der Funktion

y = \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{1 + \sqrt{x + 3}}

Definitionsbereich und Wertebereich stimmen. Die Umkehrfunktion habe ich aufgrund einer anderen Teilaufgabe schon ermittelt und mit Maple überprüft. Sie lautet

y^{- 1} = - \frac{2 x^{2} + 10 x - 1}{(y + 1)^{2}}

.

ALSO:
Anhand der ursprünglichen Funktion würde ich sagen, dass der DB =

[- 3; \infty)

, da sonst die Wurzel negativ wäre.

Dies müsste automatische auch der Wertebereich der Umkehrfunktion sein, was ich aber nicht sehe.

Analog, wenn man die Umkehrfunktion betrachtet, müsste hierfür der DB alle reelle Zahlen sein, widerum muss dann der Wertebereich der ursprünglichen Funktion gleich sein, was aber meiner Meinung nach auch nicht stimmt.

Kann mir bitte jemand sagen, wo mein Denkfehler ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Wertemenge (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einfache gebrochen-rationale Funktionen - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

19:53 Uhr, 01.04.2012

"dass der DB =

[

-3;∞), da sonst die Wurzel negativ wäre."

NEIN

\to

denn für alle

x

mit

- 3 < x < + 3

ist doch der Radikand im ZÄHLER negativ..

ACH JA - FALLS ES DICH INTERESSIERT: der Wertebereich ist

- 1 < y \leq \frac{2}{5} \cdot (\sqrt{6} - 1)

und :
ist das dein Ernst mit deiner notierten "Umkehrfunktion" mit

y^{- 1}

links
und im Nenner rechts nochmal was mit

y

also: was soll der Unfug? .. 1. April - oder?

tropmaline aktiv_icon

20:13 Uhr, 01.04.2012

Sorry, es haben sich Tippfehler eingeschlichen und nein es war kein Aprilscherz!

Die ursprüngliche Funktion lautet

y = \frac{2 - \sqrt{x + 3}}{1 + \sqrt{x + 3}}

Die Umkehrfunktion lautet also

y^{- 1} = - \frac{2 x^{2} + 10 x - 1}{(x + 1)^{2}}

rundblick aktiv_icon

20:40 Uhr, 01.04.2012

ok - nun stimmt der Definitionsbereich

die Umkehrfunktion solltest du nicht mit

y^{- 1} = \frac{1}{y}

aufschreiben

. .

y = f^{- 1} (x)

als Umkehrfunktion von

y = f (x)

also:

y = \frac{- 2 x^{2} - 10 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}

aber da hast du schon erkannt, dass du damit zuviel des Guten hast

du hast vergessen, vorher zu ermitteln, auf welchem Bereich das gelten soll

dh ermittle zuerst mal noch den WB der Ursprungsfunktion ..
usw..

tropmaline aktiv_icon

20:55 Uhr, 01.04.2012

Hallo,

danke für deine Antwort!
Also zur Ursprungsfunktion:
Der DB =

[- 3, \infty)

Um den WB zu ermitteln, würde ich den Grenwzwert für x --> unendlich ermitteln.
Hier erhalte ich -1.
Also wäre der WB = (-1;

\infty)

-1 würde ich ausklammern, da dann die Umkehrfunktion im Nenner nicht null wird.

Sind meine Überlegungen so richtig?

rundblick aktiv_icon

21:04 Uhr, 01.04.2012

"Also wäre der WB

= (- 1;

∞)"

NEIN .. richtig ist die untere Grenze , also

y > - 1

aber der grösstmögliche y-Wert, den

f (x)

annimmt ist bei WEITEM nicht

\infty

also überlege nochmal neu

\to

es gilt für den WB:

- 1 < y \leq a

...wie gross ist der (endlich grosse!) Wert von a ?

tropmaline aktiv_icon

21:14 Uhr, 01.04.2012

Danke!
Also da ich meinen DB bereits auf >= -3 eingeschränkt habe und meine Funktion monoton fallend ist, nimmt sie den höchsten Wert bei -3 an.
Setzt man also -3 in die Ursprungsfunktion ein, erhält man 2
Also ist der WB =

(- 1; 2]

rundblick aktiv_icon

21:28 Uhr, 01.04.2012

".. erhält frau 2
Also ist der WB = (-1;2

]

... ...

. JA

\to

also bildet

f

das Intervall

[- 3; \infty)

ab auf

(- 1; 2]

und die Umkehrfunktion

f^{- 1}

ist also definiert auf

(- 1; 2] .

. und hat welchen WB?

?

\to

tropmaline aktiv_icon

21:35 Uhr, 01.04.2012

Frau würde sagen, dass der WB einer Umkehrfunktion identisch mit dem DB der Ursprungsfunktion ist.
also WB=[-3;

\infty

) (von der Umkehrfunktion).

rundblick aktiv_icon

21:43 Uhr, 01.04.2012

Mann sagt das dann so:

y = \frac{- 2 \cdot x^{2} - 10 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}

ist für

x \in (- 1; 2]

die Umkehrfunktion von

y = \frac{2 - \sqrt{x + 3}}{1 + \sqrt{x + 3}}

was meinst dazu?

tropmaline aktiv_icon

21:45 Uhr, 01.04.2012

ja, so hatte ich es auch gemeint. Ich werde meine Lösung dann mathematisch korrekt aufschreiben.
Danke für deine Hilfe!

sm1kb aktiv_icon

22:19 Uhr, 01.04.2012

Hallo tropmaline,
1.) Definitionsbereich:

3 \leq x \leq \infty

, weil für

x < 3

der Zählerradikant negativ ist.
2.) Wertebereich: Es sind die Grenzwerte des Definitionsbereiches zu bestimmen.

l i m_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{1 + \sqrt{x + 3}} = l i m_{x \to 3} \frac{2}{1 + \sqrt{6}} \cdot \frac{1 - \sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}} = \frac{2}{5} \cdot (\sqrt{6} - 1) \approx 0.5798

l i m_{x \to + \infty} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{1 + \sqrt{x + 3}} = l i m_{z \to + \infty} \frac{2 - \sqrt{z^{2} - 6}}{z + 1} = l i m_{z \to + \infty} \frac{\frac{2}{z} - \sqrt{1 - \frac{6}{z^{2}}}}{1 + \frac{1}{z}} = \frac{0 - \sqrt{1 - 0}}{1 + 0} = - 1

Wertebereich:

- 1 \leq y \leq \frac{2}{5} \cdot (\sqrt{6} - 1) \approx 0.5798

Gruß von sm1kb

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