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Defintionsmenge-->Wertemenge
Universität / Fachhochschule
Tags: Abbildung, bijektiv, Definitionsmenge, injektiv, surjektiv, Wertemenge
 
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Hallo, ich bräuchte mal Hilfe bei einem aufgegebenen Beispiel. Die Angabe ist folgende: Sei . Wieviele Abbildungen f:A→A gibt es? Welche davon sind injektiv, surjektiv, bijektiv? Geben Sie die Umkehrabbildungen f(−1)aller bijektiven f:A→A an. Meine Überlegungen wären, dass es ja drei Elemente in der Definitionsmenge gibt und diese 3 Elemente je 3 Optionen haben, welswegen mögliche Abbildungen vorhanden sein müssten. Bei bijektiv würde ich denken, dass es für das erste Element der Definitionsmenge für das zweite 2 und für das dritte (ein) Element(e) aus der Wertemenge infrage käme(n), da bijektiv ja voraussetzt, dass jedes genau ein hat. Es gibt Möglichkeiten. Bei injektiv hat das erste Element das zweite 2 und das dritte auch wieder 2 Möglichkeiten, oder? Da injektiv bedeutet, dass jedey . ein hat, also Möglichkeiten. Surjektivität setzt voraus, dass jedes . ein hat, hier gibt es genau gleichviele Elemente aus Definitions- und Wertemenge. Das bedeutet dann ja, dass das gar nicht möglich ist. Aber wo bleiben dann die restlichen Möglichkeiten, sind diese weder bijektiv, noch sujektiv oder injektiv? Die Umkehrabbildungen sind eigentlich relativ einfach, will nur mal checken, ob ich es verstanden habe: . wenn man die bijektive Abbildung hat, ist die Umkehrabbildung dann Ich wäre dankbar für mögliche Tipps usw. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Wertemenge (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo Technikfreak, Du meintest bei der Anzahl aller möglichen Abbildungen sicher . Ist es vielleicht so, dass bei so einer endlichen Menge gilt Injektiv = Bijektiv? Und wenn ja, kannst Du das begründen? Und wie sieht es mit surjektiv aus? Gruß ermanus |
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Hey ermanus, danke für die schnelle Antwort, jep genau das meine ich. Ich hoffe, dass das alles Fangfragen waren.^^ Also, bijektiv setzt voraus das es auch injektiv und surjektiv ist. . da ich zeigen kann, dass es bijektiv ist, muss es sowohl injektiv, als auch surjektiv sein. Du hast recht, in dem Fall gilt injektiv=surjektiv, da sonst nicht jedes y-Element getroffen wird. Was surjektiv angeht, ist es dann nicht das gleiche Prinzip? Man hat ja die Definition: jedem Element aus der Wertemenge . 1 x-Wert zuschreiben und das heißt es müsste mehr als geben, damit das klappt. Stimmt es bis hierher? |
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Ich denke, Du siehst das richtig. Klar ist, dass bijektv injektiv surjektiv, weil bijektiv ja gerade so definiert ist. Du argumentierst - so habe ich Dich verstanden - damit, dass die Anzahl der angenommenen Bilder bei Injektiv genau so groß sein muss wie die Anzahl der Urbilder, also muss die Menge der Bilder gleich der Anzahl er Elemente des Wertebereichs sein und da Wertebereich und Definitionsbereich dieselben Mengen sind, muss die Abbildung such surjektiv sein etc. etc. Ich mache also viel Wind um das, was Dir offenbar klar ist. Damit ist die Anzahl der bijektiven Abbikdungen = Anzahl der injektiven Abb. = Anzahl der surjektiven Abb. = 6, wie Du bei den bijektiven richtig ermittelt hast. Gruß ermanus |
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Das leuchtet eigentlich ein, aber wieso gibt es dann Möglichkeiten (habe ich das überhaupt richtig gehabt?)? Angenommen es gibt 6 bijektive Möglichkeiten, die gleichzeitig auch die injektiven und surjektiven sind. Wo bleibt dann der Rest der Möglichkeiten? MfG, Technikfreak |
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Doch, 27 stimmt. Für x = 1 hast Du 3 Möglichkeiten, für x=2 hast Du 3 Möglichkeiten und für x=3 hast Du 3 Möglichkeiten ein y zu wählen, also Möglichkeiten. In der Tat sind 21 von diesen Abbildungen nicht injektiv. Gruß ermanus |
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Aber die restlichen sind auch nicht surjektiv,oder? Da ja jedes . ein benötigt. Wie nennt man dann die restlichen Möglichkeiten und haben sie eine gemeinsame Eigenschaft? Es sind ja die, wo ein y-Wert manchmal nicht getroffen wird. MfG, Technikfreak |
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Genau! wenn "Injektiv" "Surjektiv" "Bijektiv", dann natürlich auch: "nicht Injektiv" "nicht Surjektiv" "nicht Bijektiv". |
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Bin ich selten blöd, da steht ja in der Angabe, dass nicht jede Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv sein muss. . die restlichen Abbildungen fallen aus diesen Kategorien raus. Ich glaube, dass das so jetzt stimmt: Es gibt insgesamt Möglichkeiten, von denen 6 bijektiv sind und somit auch surjektiv und injektiv. Technikfreak |
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Eben, und die anderen nicht nur nicht bijektiv sind, sondern sogar weder injektiv noch surjektiv sind. Ich denke, jetzt hamwers. Gruß ermanus |
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Jep, denke ich auch. Vielen Dank für deine Geduld. MfG, Technikfreak |
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