Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Die (reele) dritte Wurzel einer Matrix berechnen

Die (reele) dritte Wurzel einer Matrix berechnen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrix

chillahaze aktiv_icon

12:29 Uhr, 10.07.2008

hallo liebes forum,

ich bin neu hier und deshalb begrüß ich euch herzlichst.
ich habe ein problem mit einer aufgabe.
sie lautet: berechen die (reele) dritte wurzel der matrix

A =

(7__________Wurzel6)
___(Wurzel6___2 )

(eine2x2matrix soll das sein)

obwohl ich dachte ich hätte das themengebiet so einigermaßen verstanden weiss ich hier garnicht was ich damit anfangen soll..würde mich auf eine antwort freuen

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

BjBot aktiv_icon

12:59 Uhr, 10.07.2008

Hallo

Ist jetzt zwar nur eine Vermutung, aber ich könnte mir vorstellen, dass eine Matrix B aus

M_{2 x 2}

gesucht ist, mit

B = A^{\frac{1}{3}} = A^{3^{- 1}} = . . .

Noch ein Schritt und man hat eine schöne Gleichung für B, welches man einfach aus A berechnen könnte.

Wie gesagt, ist nur eine Idee, wirklich gehört von einer Wurzel einer Matrix habe ich noch nicht.

Gruß Björn

m-at-he

13:28 Uhr, 10.07.2008

Hallo,

ich bezweifle die Gleichheit:

A^{\frac{1}{3}} = {(A^{3})}^{- 1}

Nimm

A = ((1; 0); (0; 8))

und

B = ((1; 0); (0; 2))

. Man prüft leicht:

B^{3} = A

Aber:

A^{\frac{1}{3}} \neq {(A^{3})}^{- 1}

chillahaze aktiv_icon

13:43 Uhr, 10.07.2008

ich werds so machen, die lösung werd ich morgen eh erfahren..danke euch

m-at-he

13:48 Uhr, 10.07.2008

Hallo,

was heißt: "ich werds so machen"? Du hast nur einen Lösungsvorschlag erhalten und weißt, daß dieser falsch ist und willst Dir trotzdem die Mühe machen, die Werte dafür zu berechnen?

Der einzige mir spontan einfallende Weg ist der, sich für eine beliebige Matrix

B = ((b_{11}; b_{12}); (b_{21}; b_{22}))

mal

B^{3}

zu berechnen. Dann kannst Du die Komponenten von

B^{3}

und von A gleichsetzen und erhältst 4 (leider nicht lineare) Gleichungen mit 4 Unbekannten. Dieses Gleichungssystem wäre zu lösen!

m-at-he

14:28 Uhr, 10.07.2008

Hallo,

es gilt doch für

B = ((b_{11}; b_{12}); (b_{21}; b_{22})) :

A = ((7; \sqrt{6}); (\sqrt{6}; 2)) = B^{3}

= ((b_{11}; b_{12}); (b_{21}; b_{22})) \cdot ((b_{11}; b_{12}); (b_{21}; b_{22})) \cdot ((b_{11}; b_{12}); (b_{21}; b_{22}))

= ((b_{11}^{2} + b_{12} \cdot b_{21}; b_{11} \cdot b_{12} + b_{12} \cdot b_{22}); (b_{11} \cdot b_{21} + b_{21} \cdot b_{22}; b_{12} \cdot b_{21} + b_{22}^{2})) \cdot ((b_{11}; b_{12}); (b_{21}; b_{22}))

= ((b_{11}^{3} + b_{11} \cdot b_{12} \cdot b_{21} + b_{11} \cdot b_{12} \cdot b_{21} + b_{12} \cdot b_{21} \cdot b_{22}; b_{11}^{2} \cdot b_{12} + b_{12}^{2} \cdot b_{21} + b_{11} \cdot b_{12} \cdot b_{22} + b_{12} \cdot b_{22}^{2});

(b_{11}^{2} \cdot b_{21} + b_{11} \cdot b_{21} \cdot b_{22} + b_{12} \cdot b_{21}^{2} + b_{21} \cdot b_{22}^{2}; b_{11} \cdot b_{12} \cdot b_{21} + b_{12} \cdot b_{21} \cdot b_{22} + b_{12} \cdot b_{21} \cdot b_{22} + b_{22}^{3}))

= ((b_{11}^{3} + 2 \cdot b_{11} \cdot b_{12} \cdot b_{21} + b_{12} \cdot b_{21} \cdot b_{22}; b_{11}^{2} \cdot b_{12} + b_{12}^{2} \cdot b_{21} + b_{11} \cdot b_{12} \cdot b_{22} + b_{12} \cdot b_{22}^{2});

(b_{11}^{2} \cdot b_{21} + b_{11} \cdot b_{21} \cdot b_{22} + b_{12} \cdot b_{21}^{2} + b_{21} \cdot b_{22}^{2}; b_{11} \cdot b_{12} \cdot b_{21} + 2 \cdot b_{12} \cdot b_{21} \cdot b_{22} + b_{22}^{3}))

\Rightarrow

b_{11}^{3} + 2 \cdot b_{11} \cdot b_{12} \cdot b_{21} + b_{12} \cdot b_{21} \cdot b_{22} = 7

b_{11}^{2} \cdot b_{12} + b_{12}^{2} \cdot b_{21} + b_{11} \cdot b_{12} \cdot b_{22} + b_{12} \cdot b_{22}^{2} = \sqrt{6}

b_{11}^{2} \cdot b_{21} + b_{11} \cdot b_{21} \cdot b_{22} + b_{12} \cdot b_{21}^{2} + b_{21} \cdot b_{22}^{2} = \sqrt{6}

b_{11} \cdot b_{12} \cdot b_{21} + 2 \cdot b_{12} \cdot b_{21} \cdot b_{22} + b_{22}^{3} = 2

Die Lösungen dafür sind:

b_{11} = 1,857142857143 . .

= \frac{13}{7}

b_{12} = 0,349927106112 . .

= \frac{\sqrt{6}}{7}

b_{21} = 0,349927106112 . .

= \frac{\sqrt{6}}{7}

b_{22} = 1,142857142857 . .

= \frac{8}{7}

\Rightarrow B = \frac{1}{7} \cdot ((13; \sqrt{6}); (\sqrt{6}; 8)

)

Probe:

B^{3} = {(\frac{1}{7} \cdot ((13; \sqrt{6}); (\sqrt{6}; 8)))}^{3} = {(\frac{1}{7})}^{3} \cdot {((13; \sqrt{6}); (\sqrt{6}; 8))}^{3}

B^{3} = \frac{1}{343} \cdot ((13; \sqrt{6}); (\sqrt{6}; 8)) \cdot ((13; \sqrt{6}); (\sqrt{6}; 8)) \cdot ((13; \sqrt{6}); (\sqrt{6}; 8)

)

B^{3} = \frac{1}{343} \cdot ((169 + 6; 13 \cdot \sqrt{6} + 8 \cdot \sqrt{6}); (13 \cdot \sqrt{6} + 8 \cdot \sqrt{6}; 6 + 64)) \cdot ((13; \sqrt{6}); (\sqrt{6}; 8)

)

B^{3} = \frac{1}{343} \cdot ((175; 21 \cdot \sqrt{6}); (21 \cdot \sqrt{6}; 70)) \cdot ((13; \sqrt{6}); (\sqrt{6}; 8)

)

B^{3} = \frac{1}{343} \cdot ((175 \cdot 13 + 21 \cdot 6; 175 \cdot \sqrt{6} + 21 \cdot 8 \cdot \sqrt{6}); (21 \cdot 13 \cdot \sqrt{6} + 70 \cdot \sqrt{6}; 21 \cdot 6 + 70 \cdot 8))

B^{3} = \frac{1}{343} \cdot ((2401; 343 \cdot \sqrt{6}); (343 \cdot \sqrt{6}; 686))

B^{3} = ((7; \sqrt{6}); (\sqrt{6}; 2)) = A

BjBot aktiv_icon

19:00 Uhr, 10.07.2008

Ich habe mich mal etwas schlau gemacht wie es noch geht (und diesmal klappt es auch, ich habe es getestet)

1) Bestimme alle Eigenwerte und Eigenräume der Matrix und daraus dann eine Diagonalmatrix D (Diagonalisierung der gegebenen Matrix)

2) Berechne

C = D^{\frac{1}{3}}

dadurch, dass du in der Diagonalmatrix jeweils die 3. Wurzel der Einträge in der Hauptdiagonalen ziehst.

3) Die gesuchte Matrix B ergibt sich aus

B = S \cdot C \cdot S^{- 1}

wobei die Matrix S spaltenweise aus den Eigenvektoren von A besteht.

Edit:

Kleine Erläuterung:

Ist die Matrix A diagonalisierbar, dann existiert eine Diagonalmatrix D mit

D = S^{- 1} \cdot A \cdot S

oder nach A umgeformt

A = S \cdot D \cdot S^{- 1}

Mit D=C³ folgt somit:

A = S \cdot C^{3} \cdot S^{- 1} = (S \cdot C \cdot S^{- 1})^{3}

denn

(S \cdot C \cdot S^{- 1})^{3} = S \cdot C \cdot S^{- 1} \cdot S \cdot C \cdot S^{- 1} \cdot S \cdot C \cdot S^{- 1} = S \cdot C^{2} \cdot S^{- 1} \cdot S \cdot C \cdot S^{- 1} = S \cdot C^{3} \cdot S^{- 1}

wobei

S^{- 1} \cdot S = S \cdot S^{- 1} = E

und

C \cdot E = E \cdot C = C

mit der Einheitsmatrix E als neutralem Element

chillahaze aktiv_icon

13:46 Uhr, 12.07.2008

danke nochmal für eure antworten.
@BjBot: so habens wir dann auch in den übungen gerechnet

523314

523091

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?