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Differentialgleichung für Wassermenge im Tank

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

iidefix aktiv_icon

11:09 Uhr, 13.07.2011

Hi,

ich habe hier ein Klausurbeispiel, das mir etwas Schwierigkeiten bereitet:

Wir betrachten einen mit Wasser gefüllten, zylinderförmigen Tank mit Radius R = 1 und Höhe H = 1. Zum Zeitpunkt t = 0 wird im Boden dieses Tanks ein kleines kreisförmiges Loch mit Radius r geöffnet. Durch diesess Loch fließt das Wasser mit einer Geschwindigkeit von $v (t) = 2 \sqrt{h (t)}$ aus, wobei h(t) den Wasserstand im Tank zum Zeiptunkt t bezeichnet. Wie lange dauert es, bis der Tank leer ist? (Anleitung: Man stelle eine Differentialgleichung für die zum Zeiptunkt t im Tank befindliche Wassermenge V(t) auf.)

Wir haben ein ähnliches Beispiel mit einem See in den Wasser hinein und hinaus fließt gemacht und angelehnt daran folgende DGL aufgestellt:

V(t+dt) = V(t) - v(t) . t . r² .pi .dt

V(t + dt) - V(t) = - 2. Sqrt[h(t)] . t. r² .pi. dt

V(t)/dt = -2 . Sqrt[h(t)] . t. r² . pi

Allerdings macht das meiner Meinung nach wenig Sinn, weil ja damit eine DGL entsteht, bei der ich bloß die rechte Seite nach t integrieren muss und damit V(t) hab. (außerdem ist mir nicht ganz klar, wie das dt und t dann plötzlich verschwindet ;)

Mein zweiter Versuch wäre gewesen, das ganze logisch anzugehen:

V(t) = V(0) - v(t) . t . r². pi

mit den Anfangsbedingungen:

V(0) = R².pi.H = pi

h(0) = H = 1

allerdings fehlt mir da jetzt irgendwie die Differentialgleichung ^^

Wer kann mir mit einem Ansatz helfen?

Gerd30.1 aktiv_icon

14:21 Uhr, 13.07.2011

Es gilt (1)

d V = - π R^{2} d h

und

(2) d V = π r^{2} v (t) d t

Durch Gleichsetzen und Einsetzen von

v (t) = 2 \sqrt{h (t)}

erhält man

- R^{2} d h = r^{2} 2 \sqrt{h (t)} d t

und dami die DGL

\frac{d h (t)}{d t} = - 2 \frac{r^{2}}{R^{2}} \sqrt{h (t)} \Leftrightarrow \frac{d h (t)}{\sqrt{h (t)}} = - 2 \frac{r^{2}}{R^{2}} (d t)

und durch Integration erhält man:

2 \sqrt{h (t)} = - 2 \frac{r^{2}}{R^{2}} t + C,

also

h (t) = H - \frac{r^{4}}{R^{4}} t^{2}

DmitriJakov aktiv_icon

14:40 Uhr, 13.07.2011

Frage: Steht der Zylinder aufrecht, also wie eine Säule oder liegt er so wie ein gefällter Baum. Die letztere Variante wäre deutlich schwieriger.

NEPH1L1M aktiv_icon

15:08 Uhr, 13.07.2011

Ist die Aufgabe nicht ähnlich wie:

http//www.onlinemathe.de/forum/Wie-DGL-l%C3%B6sen-

LG NEPHI

Manhatten aktiv_icon

17:58 Uhr, 13.07.2011

wie wuerde man denn auf

v

kommen, wenn dieses nicht gegeben waere??

NEPH1L1M aktiv_icon

18:36 Uhr, 13.07.2011

. .

.
Die Aufgabe lautete bei mir:

Für die Füllhöhe

y (t)

eines mit Wasser gefüllten zylinderförmigen gefäßes, das sich über ein Loch im waagrechten Boden entlert, gelte näherungsweise

\frac{d y (t)}{d t} = - α \sqrt{y (t)}

Anfangsbedingung

y (t = 0) = y_{0}

Nach welcher Zeit ist das Gefäß leer ?

Also sehr ähnlich - nur das in

α

"diverse" Konstanten zusammengefasst worden sind.

Gruß NEPHI

iidefix aktiv_icon

10:50 Uhr, 14.07.2011

Vielen Dank an gerdware! (ich denke der Zylinder steht aufrecht, weil sonst ja der Tank gar nicht leer werden würde durch ein Loch im Kreisteil)

Eine Frage noch zu den Gleichungen von gerdware:

aus $2 \sqrt{h (t)} = - 2 \frac{r^{2}}{R^{2}} t + C$ würde sich doch dann durch quadrieren eine binomische Formel ergeben - oder? und wenn nicht, würde zumindest das negative Vorzeichen des Terms wegfallen und das Ergebnis würde mit H + r²/R².t angeschrieben? (was dann irgendwie nicht ganz logisch ist, weil h ja eigentlich kleiner als das ursprüngliche H ist und deshalb das Minus wieder passen würde... )

Edddi aktiv_icon

12:20 Uhr, 14.07.2011

...wir haben die Anfangsbedingung

h (0) = H

gegeben.

Damit ergibt sich durch einsetzen:

2 \cdot \sqrt{h (t)} = - 2 \cdot \frac{r^{2}}{R^{2}} \cdot t + C

2 \cdot \sqrt{h (0)} = - 2 \cdot \frac{r^{2}}{R^{2}} \cdot 0 + C

2 \cdot \sqrt{H} = C

Diese Konstante eingesetzt liefert dann:

2 \cdot \sqrt{h (t)} = - 2 \cdot \frac{r^{2}}{R^{2}} \cdot t + 2 \cdot \sqrt{H}

\sqrt{h (t)} = \sqrt{H} - \frac{r^{2}}{R^{2}} \cdot t

h (t) = H - 2 \cdot \sqrt{H} \cdot \frac{r^{2}}{R^{2}} \cdot t + \frac{r^{4}}{R^{4}} \cdot t^{2}

Für

h (t) = 0

kannst du dann die Zeit berechnen:

\frac{r^{4}}{R^{4}} \cdot t^{2} - 2 \cdot \sqrt{H} \cdot \frac{r^{2}}{R^{2}} \cdot t + H = 0

t^{2} - 2 \cdot \sqrt{H} \cdot \frac{R^{2}}{r^{2}} \cdot t + H \cdot \frac{R^{4}}{r^{4}} = 0

(t - \sqrt{H} \cdot \frac{R^{2}}{r^{2}}) - H \cdot \frac{R^{4}}{r^{4}} + H \cdot \frac{R^{4}}{r^{4}} = 0

t - \sqrt{H} \cdot \frac{R^{2}}{r^{2}} = 0

t = \sqrt{H} \cdot \frac{R^{2}}{r^{2}}

;-)

Gerd30.1 aktiv_icon

14:16 Uhr, 14.07.2011

@Eddi

Danke für die korrekte Weiterberechnung ( auch wenn da hinter der Klammer das

{()}^{2}

fehlt)

!!

iidefix aktiv_icon

15:19 Uhr, 14.07.2011

super!!! vielen dank ihr zwei! und vielen dank für die mühe mit den formeln und den einzelnen rechenschritten, ihr habt mir und meinen kollegen echt weiter geholfen! :)

Edddi aktiv_icon

15:24 Uhr, 14.07.2011

@ gerdware

. .

. Danke für die Korrektur

. .

. ich behaupte jetzt einfach, diesen Fehler absichtlich eingebaut zu haben, um den Fragesteller zum Nachdenken und überprüfen anzuregen.

;-)

iidefix aktiv_icon

15:27 Uhr, 14.07.2011

;) ich hab dann eigentlich eh die zwischenteile selbst gerechnet und dann mit dem ergebnis verglichen, so ist's mir gar nicht aufgefallen. :)

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