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Differentialgleichung mit Substitution lösen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: allgemeine Lösung der Differentialgleichungen, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Kettenregel, Substitution

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21:12 Uhr, 21.03.2019

Hallo, ich hänge bei folgender Aufgabe fest.
Ich muss die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichung lösen.

\frac{y'}{y^{2}} = sin (t) y^{- 1} + e^{3 t}

Um die DGL zu lösen, soll ich die Substitution

z = \frac{1}{y}

verwenden.
Als Hinweis ist noch gegeben, dass ich bei der Ersetzung von

y'

die Kettenregel beachten soll.

Ich weiß leider nicht genau was ich mit dem Hinweis anfangen soll und wie ich

y'

berechne. Da

z

ja von

y

abhängt ist

z

keine Konstante also fällt es beim ableiten nicht weg denke ich.

y = \frac{1}{z} = z^{- 1}

y' =

?

Kann mir jemand vielleicht sagen wie ich

y'

berechne, damit ich dann versuchen kann die Aufgabe zu lösen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kettenregel
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

21:31 Uhr, 21.03.2019

Hallo

z = \frac{1}{y}

daraus

z' = - \frac{1}{y^{2}} \cdot y'

Kettenregel, da ja

y = y (x)

also hast du

- z' = sin (t) \cdot z + e^{3 \cdot t}

dann erst die homogene Dgl

z' = - sin (t) \cdot z

durch Trennung der Variablen lösen, dann Variation der Konstanten.
Gruß ledum

Mathometer aktiv_icon

21:36 Uhr, 21.03.2019

Hallo ledum,

vielen Dank für Deine Antwort! Hat mir enorm geholfen.

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