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Differentialquotient 3 Wurzel von x

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helpmewithunimath

helpmewithunimath

16:06 Uhr, 05.02.2017

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Hallo!

ich muss den Differentialquotienten von der dritten Wurzel von

x

bilden und frage mich gerade wie man da vorgeht und am besten erweitert?
Bräuchte da ein wenig Hilfe, wäre nett, wenn jemand die Rechenschritte hier hinschreiben könnte.

bei der Wurzel aus

x

kann man ja wunderbar erweitern und dann mit der binomischen Formel auflösen, aber wie das hier geht, ist fraglich.

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

16:31 Uhr, 05.02.2017

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Hallo,

\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}

und jetzt die bekannte Regel
Exponent

\frac{1}{3}

vor das "

x

" schreiben und neuen Exponeneten bilden, indem Du den Exponent

\frac{1}{3}

um eins verminderst.
;-)

helpmewithunimath

helpmewithunimath

16:43 Uhr, 05.02.2017

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Ja, aber wie bilde ich den Differentialquotienten?
Wie ich das ableite ist mir relativ klar, ging mir nur um den Differentialquotienten..

\frac{{(x + δ x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}}{δ x}

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

16:56 Uhr, 05.02.2017

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hm, könnte mir vorstellen, dass Du zunächst mal den Diifferentialquotienten mit

{(x - δ x)}^{\frac{2}{3}}

erweitern solltest, denn darauf weist ja das Ergebnis der Ableitung hin.
;-)

helpmewithunimath

helpmewithunimath

17:25 Uhr, 05.02.2017

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Stimmt. Das ist ein guter Tipp auf die Ableitung zu schauen. :-)

Ich habe so meine Probleme mit dem Ausmultiplizieren eines solchen Terms:

- x^{\frac{1}{3}} \cdot {(x - δ x)}^{\frac{2}{3}} .

.
Wäre das Ergebnis hiervon

{(- x^{2} + x δ x)}^{\frac{2}{3}}

und somit durch Erweiterung der Differentialquotient so:

\frac{x + δ x + {(- x^{2} + x δ x)}^{\frac{2}{3}}}{{(x δ x - δ x^{2})}^{\frac{2}{3}}}

? Oder habe ich mich da verrechnet. Und wenn es richtig ist, wie könnte ich dort nun weitermachen?

Antwort

funke_61

funke_61 aktiv_icon

17:33 Uhr, 05.02.2017

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nein,
du darfst natürlich nicht einfach ausmultiplizieren.
Aber ehrlich gesagt, komm ich so auch nicht weiter.
Derzeit probiere ich gerade mit

{(x + δ x)}^{\frac{1}{3}}

zu erweitern, komme aber noch nicht auf einen grünen Zweig . . .

muss jetzt leider aufhören.

Vielleicht kann jemand übernehmen?

Antwort

anonymous

anonymous

20:59 Uhr, 05.02.2017

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Tipp:
binomische Reihe:

{(x + h)}^{p} = x^{p} + (\begin{matrix} p \\ 1 \end{matrix}) \cdot x^{p - 1} \cdot h + (\begin{matrix} p \\ 2 \end{matrix}) \cdot x^{p - 2} \cdot h^{2} + . .

.

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abakus

22:32 Uhr, 05.02.2017

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Hallo,

(x - Δ x)^{2 / 3}

ist doch

((x - Δ x)^{2})^{1 / 3} = (x^{2} - 2 x Δ x + Δ x^{2})^{1 / 3}

.
Damit kann man

- x^{1 / 3} \cdot (x - Δ x)^{2 / 3}

zu

- (x^{3} - 2 x^{2} Δ x + x Δ x^{2})^{1 / 3}

ausmultiplizieren.

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Atlantik

Atlantik aktiv_icon

11:55 Uhr, 06.02.2017

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Noch ein Weg zur Ableitung von

y = \sqrt[3]{x} :

y = \sqrt[3]{x} |^{3}

y^{3} = x

\frac{d x}{d y} = x

´

= 3 y^{2} = 3 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}

\frac{d y}{d x} = y

´

= \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}

mfG

Atlantik

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