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Differenz der Volumen einer Kugel

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Differenz berechnen, Körper, Kugel, volum

Elwedridsch aktiv_icon

15:25 Uhr, 23.09.2014

Hallo,
ich habe im Mathematik-Vorkurs zu meinem Studium folgende Aufgabe zu rechnen gehabt:
Aufgabe: Eine Kugel mit dem Radius

r

Meter hat ein Volumen von

\frac{4}{3} \cdot

π *r³ Kubikmetern. Um wie viel vergrößert sich das Volumen wenn der Radius um 1 Meter zunimmt.
Tipp: (r+1)³
Im Klartext sollen wir also eine Formel entwickeln, welche uns die Differenz Neues Volumen - Altes Volumen direkt angibt.
Das hier wäre mein Lösungsansatz:
Vneu-Valt=4/3* π *(r+1)³-4/3* π *r³
daraus folgt:
Vneu-Valt=4/3* π *(r³+3r²+3r+1)-4/3* π *r³

Aber dann weiß ich ehrlich gesagt nicht mehr weiter.
Ich hoffe ihr könnt mir an dieser Stelle ein wenig auf die Sprünge helfen.
Danke dafür schon mal im voraus.
Gruß
Elwedridsch

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

15:35 Uhr, 23.09.2014

das ist es doch. Die Kugel vergrößert sich also um

\frac{4}{3} \cdot π \cdot (3 \cdot r^{2} + 3 \cdot r + 1)

Kubikmeter.

Es wird immer eine Abhängigkeit von

r

da sein.

Auch wenn du den Faktor angeben würdest, welcher dann ja

\frac{\frac{4}{3} \cdot π \cdot (3 \cdot r^{2} + 3 \cdot r + 1)}{\frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}} = \frac{3}{r} + \frac{3}{r^{2}} + \frac{1}{r^{3}}

wäre.

;-)

Elwedridsch aktiv_icon

17:14 Uhr, 23.09.2014

Ja, aber wie komme ich auf das Ergebnis welches du gepostet hast.
Im Grunde habe ich das Ergebnis ja schon geschrieben.
Ich suche eine schrittweise Erklärung wie meine Gleichung zu deinem Ergebnis umgeformt wird.
Gruß
Elwdridsch

pleindespoir aktiv_icon

17:49 Uhr, 23.09.2014

V_{1} (r_{1}) = f \cdot V_{0} (r_{0})

r_{1} = r_{0} + δ

V_{1} (r_{0} + δ) = f \cdot V_{0} (r_{0})

\frac{4 π}{3} \cdot (r_{0} + δ)^{3} = f \cdot \frac{4 π}{3} \cdot (r_{0})^{3}

(r_{0} + δ)^{3} = f \cdot (r_{0})^{3}

r_{0}^{3} + 3 r_{0}^{2} δ + 3 r_{0} δ^{2} + δ^{3} = f \cdot r_{0}^{3}

1 + 3 \frac{δ}{r_{0}} + 3 \frac{δ^{2}}{r_{0}^{2}} + \frac{δ^{3}}{r_{0}^{3}} = f

Betrachtet man relative Änderungen , kann man annehmen:

ρ = \frac{δ}{r_{0}}

so dass sich folgende Gleichung ergibt:

1 + 3 ρ + 3 ρ^{2} + ρ^{3} = f

bei kleinen relativen Änderungen können die höheren Potenzen vernachlässigt werden, weil sie gegen Null gehen, also:

1 + 3 ρ \approx f

V_{1} (r_{1}) = (1 + 3 ρ) \cdot V_{0} (r_{0})

beträgt die Volumenänderung bezüglich der relativen Längenanderung.

Elwedridsch aktiv_icon

18:09 Uhr, 23.09.2014

Ok, also erst einmal vielen Dank für eure tatkräftige Unterstützung.
Aber das war jetzt ein wenig zu viel des guten für mich.
Eigentlich wollte ich nur wissen:
Wie wandle ich die Formel Vneu-Valt=4/3* π*(r³+3r²+3r+1)-4/3* π*r³
in folgende Formel um : Vneu-Valt=4/3* π*(3*r²+3r+1)

Da muss ja etwas passieren, dass

\frac{4}{3}

und π nur ein mal statt zwei mal in der Formel steht. Und auch die r³ müssen wegfallen.
Und genau da liegt mein Problem.
Ich weiß nicht wie ich das bewerkstelligen soll.
Gruß
Elwedridsch

pleindespoir aktiv_icon

18:16 Uhr, 23.09.2014

Wenn du die Differenz der beiden Kugeln nimmst, kann sich 4pi/3 nicht herauskürzen, da es Faktor beider Summanden ist. Die kannst du allerdings vorklammern, um sie nicht "zweimal" in der Formel zu sehen.
Nur bei relativen Änderungen, also Quotienten kürzen sich diese Konstanten raus.

Elwedridsch aktiv_icon

19:04 Uhr, 23.09.2014

Ich denke jetzt habe ich es kapiert.
Es ist das gleiche Prinzip wie wenn ich sage:

2 a + 2 b = 2 (a + b)

.
Danke an euch alle!
Gruß
Elwedridsch

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