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Differenzierbarkeit

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Differentiation

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couman990

couman990 aktiv_icon

16:28 Uhr, 18.04.2019

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Hallo zusammen,

gegeben ist die Funktion f(x)={ex für x0;cos(x)+x für x>0}.

Es soll nun überprüft werden, wie oft diese Funktion für jedes xERx differenzierbar ist. Außerdem soll die Existenz von f´(0) untersucht werden und , sofern möglich, die erste sowie zweite Ableitung gebildet werden.

Ich hätte jetzt zunächst folgendes gemacht:

f´(x)={ ex für x0;-sin(x)+1 für x>0}

f´´(x)= {ex für x0;-cos(x) für x>0}

An dieser Stelle komme ich dann nicht mehr weiter. Wie kann ich überprüfen, wie oft die Funktion in x differenzierbar ist (unendlich oft ?)? Zudem bereitet mir die Untersuchung der Existenz von f´(0) Schwierigkeiten. Grundsätzlich ist der Grenzwert ja für x0 und für x>0 jeweils 1, sodass die Funktion ja stetig sein müsste in x=0. Nur daraus kann man ja nicht sofort schließen, dass sie auch differenzierbar ist in x=0. Wenn man f´(0) jeweils berechnet, erhält man ja jeweils 1. Würde das bereits als Begründung ausreichen ?

Danke im Voraus !
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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supporter

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16:32 Uhr, 18.04.2019

Antworten
de.serlo.org/mathe/funktionen/grenzwerte-stetigkeit-differenzierbarkeit/differenzierbarkeit/differenzierbarkeit


couman990

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16:53 Uhr, 18.04.2019

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Zunächst erst einmal danke für den Link !

Ich verstehe nur nicht, wie ich anhand dessen konkret die Existenz von f´(0) untersuchen kann bzw. wie ich ich überprüfen kann, wie oft die Funktion jetzt differenzierbar ist.
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supporter

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17:04 Uhr, 18.04.2019

Antworten
Setze 0 in die 1. Ableitung von ex und cosx+x ein!


couman990

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17:17 Uhr, 18.04.2019

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Ok, wie bereits erwähnt, müsste man ja hierbei (beim Einsetzen) jeweils 1 erhalten. Ist dies bereits ausreichend als Begründung, sprich dass die ersten Ableitungen denselben Wert ergeben? Wie oft kann man die Funktion ableiten, bzw. wie kann man zeigen, dass es unendlich oft möglich ist ?
Antwort
anonymous

anonymous

20:45 Uhr, 18.04.2019

Antworten
Hallo
Bitte geh doch mal systematisch vor.
Die Funktionen hast du eigentlich schon sehr systematisch aufbereitet.
Jetzt mach dir doch mal selbst den Gefallen, und untersuche

a)
Den linksseitigen und den rechtsseitigen Funktionswert an der Stelle x=0.

b)
Die linksseitige und rechtsseitige (erste) Ableitung an der Stelle x=0.

c)
Die linksseitige und rechtsseitige zweite Ableitung an der Stelle x=0.


Das mal systematisch vor Augen geführt, was kannst du dann aussagen
a.2)
über die Stetigkeit im fraglichen Punkt x=0?

b.2)
über die (erste) Differenzierbarkeit im fraglichen Punkt x=0?

c.2)
über die zweite Ableitbarkeit im fraglichen Punkt x=0?

couman990

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22:15 Uhr, 18.04.2019

Antworten
ok, also der Funktionswert links- sowie rechtsseitig von 0 beträgt jeweils +1.

Die erste Ableitung ist linksseitig +1 und rechtsseitig auch +1.

Die zweite Ableitung ist linksseitig +1 und rechtsseitig (-cos(x)) aber -1.

Das würde dann bedeuten, dass die Funktion bei x=0 stetig ist. Außerdem ist die erste Ableitung an diesem Punkt ebenfalls definiert. Die zweite Ableitbarkeit allerdings nicht mehr.

Stimmt das so ?



Antwort
anonymous

anonymous

22:38 Uhr, 18.04.2019

Antworten
Ja gut soweit.
Ich hätte präzisiert:
a)
Da linksseitiger und rechtsseitiger Funktions-(Grenz-)-Wert gleich ist, ist die Funktion hier stetig.
b)
Da die Funktion stetig ist,
und da linksseitiger und rechtsseitiger (Grenz-)-Wert der (ersten) Ableitung gleich ist,
ist die Funktion hier (einmal) differenzierbar.
Die Ableitung ist definiert und hat den Wert f'(0)=1

c)
Da der linksseitige Wert der zweiten Ableitung ungleich dem Grenzwert der rechtsseitigen zweiten Ableitung ist, ist die Funktion kein zweites (und kein weiteres) Mal ableitbar.

couman990

couman990 aktiv_icon

23:34 Uhr, 18.04.2019

Antworten
Ok vielen Dank !
Das bedeutet also, dass man die Funktion nicht unendlich oft ableiten kann? Oder kann man die Funktion unendlich oft differenzieren für Werte für x0? Wie kann ich diesbezüglich am besten überprüfen, wie oft die Funktion für jedes xERx differenzierbar ist ?


f´(0) existiert also nach der dargestellten Begründung ?
Antwort
anonymous

anonymous

08:05 Uhr, 19.04.2019

Antworten
"Das bedeutet also, dass man die Funktion nicht unendlich oft ableiten kann?"
Ja, siehe c).


"Oder kann man die Funktion unendlich oft differenzieren für Werte für x ungleich 0?"
Ich empfehle immer, sich beim Thema Differenzierbarkeit auf konkrete Punkte zu konzentrieren , nämlich auf Verdachtsstellen für Unstetigkeit oder Sprungstellen:
> Polstellen,
> Definitionslücken,
> Grenzstellen abschnittsweise definierter Funktionen,
siehe: www.onlinemathe.de/forum/Stetigkeit-in-einem-Punk

Es scheint eine Anfänger-Unsicherheit zu sein, immer irgendwelche ganzen Abschnitte, Bereiche oder Regelfunktionen in halbe Unendlichkeiten abseits der Verdachtsstellen untersuchen zu wollen.
Ich sag mal so und vergleiche mit Beweisen:
Ein Gegenbeweis zerstört eine gesamte These.
Eine These mag sich an hunderttausend Beispielen oder an
93672125958210958723857295285219
Exempeln als richtig erweisen. Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um die These ad absurdum zu führen.
Anfänger sind geneigt, immer auf diesen hunderttausend Beispielen rumzuhacken, 'aber für die vielen Beispiele gilt das doch'.
In der Praxis empfiehlt es sich, und sind die Aufgaben meist so gestrickt, sich auf die Verdachtsstellen oder Gegenbeispiele zu konzentrieren.
So ist es auch mit der Stetigkeit oder Differenzierbarkeit.
Wenn du eine Stelle gefunden hast, die unstetig / sprunghaft ist, was interessieren dann noch die unendlich vielen anderen Stellen?


"f´(0) existiert also nach der dargestellten Begründung ?"
Ja, siehe b).

Antwort
abakus

abakus

10:15 Uhr, 19.04.2019

Antworten
"Da der linksseitige Wert der zweiten Ableitung ungleich dem Grenzwert der rechtsseitigen zweiten Ableitung ist, ist die Funktion kein zweites (und kein weiteres) Mal ableitbar."

Einspruch.

Die Grenzwerte der 4., 8., 12., 16...Ableitung der rechten Seite an der Stelle 0 sind jeweils 1 und entsprechen damit der Ableitung der linken Seite an der Stelle 0.

Man sollte zumindest darüber nachdenken, ob man eine höhere Ableitung als existent einstufen kann auch in dem Fall, dass eine oder mehrere vorherige Ableitungen nicht existieren.



couman990

couman990 aktiv_icon

17:15 Uhr, 19.04.2019

Antworten
Ok erstmal vielen Dank !
Also was kann ich anhand dessen jetzt darüber sagen, wie oft die Funktion in beliebigem x differenzierbar ist, wenn einige höhere Ableitungen dennoch definiert sind?
Antwort
anonymous

anonymous

17:56 Uhr, 19.04.2019

Antworten
Lass dich nicht zu sehr verwirren.
Es mag sein, dass zwar noch höhere Ableitungen existieren.
Das ändert aber nichts daran, dass die Funktion nur einmal differenzierbar ist.

Ich ahne, wesentlich wird sein, dass wir sehr streng zwischen den Begrifflichkeiten unterscheiden.
> abakus spricht von "Existenz von Ableitungen",
> gefragt war nach der "Differenzierbarkeit"
und danach, 'wie oft diese Funktion ... differenzierbar ist'.

couman990

couman990 aktiv_icon

18:41 Uhr, 19.04.2019

Antworten
Ok, also die 1. Ableitung ist möglich, die zweite nicht mehr?

Und wenn die Funktion für x=0 nicht "zweimal" differenzierbar ist, dann ist sie auch insgesamt nicht zweimal differenzierbar ? Oder wäre die Funktion links und rechts der 0 "zweimal" und "öfters" differenzierbar (ähnlich wie bei der Bereichseinschränkung beim Monotonieverhalten etc. ?)?
Antwort
anonymous

anonymous

19:35 Uhr, 19.04.2019

Antworten
"Und wenn die Funktion für x=0 nicht 'zweimal' differenzierbar ist, dann ist sie auch insgesamt nicht zweimal differenzierbar ? Oder wäre die Funktion links und rechts der 0 'zweimal' und 'öfters' differenzierbar...?"

Jetzt sind wir wieder bei der Diskussion, die ich gehofft hatte,
> in www.onlinemathe.de/forum/Stetigkeit-in-einem-Punk
> heute um 8:05h
> und in
"Wenn du eine Stelle gefunden hast, die unstetig / sprunghaft ist, was interessieren dann noch die unendlich vielen anderen Stellen?"
abgevespert zu haben...

couman990

couman990 aktiv_icon

19:51 Uhr, 19.04.2019

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Nein ich habe das schon verstanden, nur was ich gerade nicht so verstehe ist folgendes:

Die Funktion ist in x=0 nur einmal differenzierbar. Nur für x0 ist sie doch eigentlich öfters differenzierbar oder ?

Die zweite Ableitung als Beispiel wäre ja auf dem gesamten Definitionsgebiet nicht stetig, allerdings ohne x=0 bzw. die Intervalle links und rechts der 0 wären ja eigentlich schon stetig oder habe ich hier einen Denkfehler ?

Was ich also nicht verstehe: Wenn eine Funktion in einem Punkt des Definitionsbereichs nicht differenzierbar ist, heißt sie nicht differenzierbar. Nur wenn in der Aufgabe steht man soll für jedes xER überprüfen , wie oft die Funktion im Punkt x differenzierbar ist, dann widerspricht sich dies doch mit der Definition, oder, weil ja bereits ein Widerspruch in einem Punkt ausreicht, sodass die Funktion (oder Ableitung) nicht mehr weiter differenzierbar ist ?
Antwort
Roman-22

Roman-22

20:14 Uhr, 19.04.2019

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> Die Funktion ist in x=0 nur einmal differenzierbar. Nur für x≠0 ist sie doch eigentlich öfters differenzierbar oder ?
Ja, an jeder Stelle x\{0} ist die Funktion unendlich oft differenzierbar.
Aber an der einen Stelle x=0 eben nur einmal.
Daher gilt, dass sie für alle x an der Stelle x einmal differenzierbar ist. Du kannst auch formulieren "mindestens einmal diffbar".
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