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Division von komplexen Zahlen mit Potenzen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

chibibo2 aktiv_icon

18:12 Uhr, 23.06.2013

Hallo ich habe eine Frage zur einer Aufgabe im Bereich der komplexen Zahlen.

Die Aufgabenstellung: Berechnen Sie und geben Sie das Ergebnis in Polardarstellung an.

$\frac{{(2 + 2 i)}^{4}}{{(4 - 4 i)}^{3}}$

Ich habe zunächst die Darstellung in die Exponentialform gebracht:
$z = 2 \sqrt{2} e^{i \cdot (\frac{π}{4})}$
$z = 4 \sqrt{2} e^{i \cdot (- \frac{π}{4})}$

Anschließend beides potenziert. Und dann dividiert, sodass ich auf eine Lösung von

$z = \frac{1}{2} e^{\frac{7}{4} i}$

Jedoch stimmt diese Lösung nicht mit meiner Musterlösung überein. Da dort kein Rechenweg dabei steht bin ich etwas hilfslos. Muss man bei einer solchen Aufgaben anderst vorgehen?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen :-)

Gruß
chibibo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

Ma-Ma aktiv_icon

19:59 Uhr, 23.06.2013

Ich hab als Lösung

$z = \frac{1}{4} \sqrt{2} \cdot e^{i \frac{π}{4}}$

Passt das mit der Musterlösung (oder hab ich mich verrechnet) ?

rundblick aktiv_icon

20:00 Uhr, 23.06.2013

Vorschlag:
forme zuerst den Bruch etwas um:

$\frac{2^{4}}{2^{6}} \cdot \frac{{(1 + i)}^{4}}{{(1 - i)}^{3}}$

und erweitere nun mit ${(1 + i)}^{3} \to$

$\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{{(1 + i)}^{4} \cdot {(1 + i)}^{3}}{{(1 - i)}^{3} \cdot {(1 + i)}^{3}}$

$\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{{(1 + i)}^{7}}{{((1 - i) \cdot (1 + i))}^{3}} = \frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{1}{2^{3}} \cdot {(1 + i)}^{7}$

schreibe jetzt erst $\frac{1}{2^{5}} \cdot {(1 + i)}^{7}$
in Polarform um
und rechne dann weiter

nebenbei:

$1)$ MaMa rechnet gewiss auch $\to n o c h m a l$ neu $... .$ .
.
$2)$ soll das Ergebnis wirklich nur in Polardarstellung angegeben werden??

$3)$ @chibibo2 :
pwmeyer wird dir gleich noch sagen, welcher Teil/Faktor deiner Rechnung falsch ist
und: der andere Teil ist ja dann bei MaMa "verunglückt"

pwmeyer aktiv_icon

20:59 Uhr, 23.06.2013

Hallo,

@chibobo: Du hast Dich bei Deiner Rechnung wahrscheinlich beim Potenzieren der Vorfaktoren vertan - unabhängig von der Frage, welcher Rechenweg günstiger ist.

Gruß pwm

chibibo2 aktiv_icon

10:41 Uhr, 24.06.2013

Hallo vielen Dank für eure Hilfe.

@rundblich: Ja, das Ergebnis soll nur in der Polardarstellung angegeben werden.

Ich habe nun den Ansatz von rundblick genommen:

$\frac{1}{2^{5}} \cdot {(1 + i)}^{7}$

Anschließend die Potenz berechnet: ${\sqrt{2}}^{7} \cdot e^{\frac{7}{4} \cdot π \cdot i}$

Danach dann $r$ mit dem Faktor $\frac{1}{2^{5}}$ multipliziert.
Somit komme ich auf ein Ergebnis von: $\frac{1}{2^{5}} \cdot {\sqrt{2}}^{7} \cdot e^{\frac{7}{4} \cdot π \cdot i}$

Leider stimmt dieses Ergebnis nicht mit dem der Musterlösung überein.
In dieser steht: $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}} \cdot e^{- i \cdot \frac{π}{4}}$

Edddi aktiv_icon

10:59 Uhr, 24.06.2013

Es ist:

$\frac{1}{4} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}$

Damit war Ma-Ma's Lösung von $19 : 59$ Uhr schon korrekt.

;-)

rundblick aktiv_icon

11:02 Uhr, 24.06.2013

Mann $! -$ das was du rausbekommen hast, ist doch genau das Gleiche
wie das Angebot der Musterlösung

Vorschlag:
Denk darüber nach, wieso das so ist
(also, wie du das Eine so umformen kannst, bis das Andere dasteht)

nebenbei:
$1) \to$ der Nenner des Bruches der Musterlösung ist ja nichtmal "rational" gemacht..

$2) \to$ und NEIN, lieber Edddi, MaMa's Lösung ist NICHT korrekt
(sie hat nur den richtigen Betrag - das habe ich ja oben schonmal nebenbei
erwähnt - aber ihr Punkt ist im falschen Quadranten )

chibibo2 aktiv_icon

11:37 Uhr, 24.06.2013

Ach Mist...Jetzt sehe ich es auch.
Ich habe nur die Ergebnisse direkt verglichen und diese nicht interpretiert.

Viele Dank für deine Antworten. Diese haben mir sehr geholfen.

Gruß
chibibo

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