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Dreieck im Quadrat soll die max. Fläche haben

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Anwendung der Differentialrechnung

Flowergirl aktiv_icon

22:34 Uhr, 14.03.2010

Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $s,$ dem ein gleichschenkliges Dreieck mit der Seitenlänge $a,$ so eingeschrieben wird, dass seine Spitze im Eckpunkt des Quadrates liegt. (siehe Zeichnung)

Gesucht ist das Dreieck, das 1. den maximalen Flächeninhalt und 2. den maximalen Umfang hat!!

Ich habe mir jetzt ein $x$ und ein $y$ ergänzt (siehe Bild) und habe so weitergerechnet, was mich aber zu keinem Ergebnis geführt hat:

$2 a^{2} = x^{2}$
$2 s^{2} = y^{2}$

Jetzt wollte ich ein Verhältnis aufstellen: $x : y = a : s$
$s \cdot x = a \cdot y$
Statt dem $x$ und dem $y$ habe ich die Wurzel von $2 a^{2}$ und $2 s^{2}$ eingesetzt:
$s \cdot \sqrt{2 a^{2}} = a \cdot \sqrt{2 s^{2}}$
$s \cdot a \cdot \sqrt{2} = s \cdot a \cdot \sqrt{2}$

Mein Weg war nicht zielführend, also hoffe ich, dass mir jemand von euch helfen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

gornek aktiv_icon

23:33 Uhr, 14.03.2010

ich würde mir das mit den ganzen variablen nicht so komplziert machen. ich würd sagen $a = s$ so hast du die größst mögliche dreieck. Die diagonale des Quadrates wäre die dritte seite von deinen dreieck $x = y = \sqrt{2 s^{2}}$ . Damit hast du alle seiten des Dreiecks und du kannst den Umfang schon berechnen. Für den Flächeninhalt brauchst du noch die Höhe. Entweder pytagoras oder die hälfte der diagonalen des quadrats, da diese sich in der mitte ganau halbieren. ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

Flowergirl aktiv_icon

23:47 Uhr, 14.03.2010

Es ist ja logisch, dass die dritte Seite des Dreiecks die Diagonale des Quadrates ist, um den größten Flächeninhalt zu haben, aber ich habe mir gedacht, dass ich das nicht einfach voraussetzen kann, weil das Ergebnis bei anderen Beispielen nicht so klar ist, aber danke für deine Antwort.

Edddi aktiv_icon

07:33 Uhr, 15.03.2010

...schau mal auf meine Skizze!

Und nun alles mit dem guten Pythagoras.

Ich würd' hier erstmal mit der Höhe $h$ rechnen (Diese liegt ja auf der Diagonalen des Quadrats). Die Basis ist ja dann von der Höhe abhängig.

Weiterhin muss ja $h$ größer wie die halbe Diagonale sein. Denn wenn $h$ kleiner ist. dann ist ja auch die Fläche kleiner als das halbe Quadrat!

So, nun also zur Höhe. Diese bträgt die Hälfte der Diagonale plus den Rest, wie ich ihn Skizziert hab:

$h = \frac{s}{\sqrt{2}} + (\frac{s}{\sqrt{2}} - \frac{b}{2}) = 2 \cdot \frac{s}{\sqrt{2}} - \frac{b}{2} = \sqrt{2} \cdot s - \frac{b}{2}$

Die Fläche ist somit:

$A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{b \cdot (\sqrt{2} \cdot s - \frac{b}{2})}{2} = \frac{s}{\sqrt{2}} \cdot b - \frac{b^{2}}{4}$

damit hast du also $A$ in Abhängigkeit von $b :$

$A (b) = \frac{s}{\sqrt{2}} \cdot b - \frac{b^{2}}{4}$

..gibt 'ne Top-Parabel ab mit Extremstelle!

Das $s$ behandelst du wie ein Konstante (ist ja schließlich die Seitenlänge des Quadrats)

...und wenn du erstmal $b$ hast, dann bekommt man auch $h$ und a raus!

da ja: $h = \sqrt{2} \cdot s - \frac{b}{2}$ und $a^{2} = h^{2} + b^{2}$

...also viel Spaß!

;-)

bruce57 aktiv_icon

17:20 Uhr, 15.03.2010

Hi Flowergirl,

vielleicht hilft auch dieser recht einfache Ansatz weiter (siehe beigefügte Skizze):

Es gelten die Aussagen
$s - x = a > 0,$ denn sonst hätten wir kein Dreieck, sondern nur einen Punkt
$0 \leq x < s,$ im Falle $x = s$ ergäbe sich wieder statt eines Dreiecks nur ein Punkt

Fläche des Dreiecks:
$F = \frac{{(s - x)}^{2}}{2}$
Dieser Ausdruck wird wegen obiger Aussagen maximal für $x = 0$

Umfang des Dreiecks:
Wegen Pythagoras gilt
$c^{2} = 2 \cdot {(s - x)}^{2}$
$c = \sqrt{2 \cdot {(s - x)}^{2}} = \sqrt{2} \cdot (s - x)$
Also hat das Dreieck den Umfang
$U = 2 \cdot (s - x) + \sqrt{2} \cdot (s - x)$
Und auch dieser Ausdruck wird - wieder wegen obiger Aussagen - maximal für $x = 0$ .

Besten Gruß
Andreas

Flowergirl aktiv_icon

21:36 Uhr, 15.03.2010

Danke für eure Antworten, aber damit habe ich immer noch nicht bewiesen, dass das $a,$ und das $s$ gleich groß sind.
Das Ziel der Aufgabe ist zu bestimmen, welches Dreieck in diesem Quadrat das maximale Volumen bzw. den maximalen Umfang hat.

Logischerweise ist dies ein Dreieck, dass bis zur Diagonale des Quadrates reicht und das sollte ich auch rechnerisch irgendwie beweisen und somit habe ich versucht eine Aussage zu finden die besagt, dass das $s$ und das $a,$ oder das $x$ und das $y$ gleich groß sind.

Lg.
Flowergirl

vulpi aktiv_icon

22:35 Uhr, 15.03.2010

Hallo,
ich wär' prinzipiell immer erst mal vorsichtig, Lösungen gleich als
"logisch" richtig zu sehen.

Was man schon vorweg einschränken kann ist folgendes:

Die Lösung kann nicht sein, dass die Hypothenuse unterhalb der Diagonalen liegt.
Denn solange a von links unten angefangen von 0 bis $s$ läuft, nehmen Fläche und Umfang des Dreiecks streng monoton zu $(A = \frac{1}{2} a^{2}, U = k \cdot a)$
Also muß die Hypothenuse MINDESTENS die Diagonale erreichen.

Interessant ist allerdings die obere Hälfte.
Geht man nun von unten nach oben weiter mit dem Schnittpunkt, dann ist die Lage
anders.
Einerseits verliert das Dreieck Fläche, aber gewinnt gleichzeitig welche dazu .

Ob es da dann ein Maximum für das Dreieck gibt, sollte man in der Tat
rechnerisch prüfen.

Zur Flächenberechnung einfach vom Quadrat die 3 umliegenden rechtwinkligen Dreiecke abziehen.

Also
Linkes Restdreieck: $\frac{x \cdot s}{2}$
Unteres Restdreieck: dito
Oberes Restdreieck $: \frac{{(s - x)}^{2}}{2}$

$A = s^{2} - x s - \frac{{(s - x)}^{2}}{2}$

Der Randwert $x = 0$ kommt als absulutes MAximum auch in Betracht, also mit evtl. lokalen Maximum vergleichen. (Diagonal-Fall)
Randwert $x = s$ macht keinen Sinn, das ist kein Dreieck mehr, sondern nur noch eine Strecke.
Siehe Skizze !

mfg

Edddi aktiv_icon

07:38 Uhr, 16.03.2010

...kann meinem Vorredner nur zustimmen (ist sogar die elegantere Lösungsvariante).

...und ich bin mir 100%-ig sicher das beide Lösungswege die gleiche Extremstelle haben.

$A (x) = s^{2} - s \cdot x - \frac{{(s - x)}^{2}}{2}$

$A' (x) = x = 0$

$x = 0$

...wenn dies das Maximum ist, müsste die Basis $b$ also mit der Diagonale übereinstimmen. Es muss $b = s \cdot \sqrt{2}$ sein.

Prüfen wir's mit meiner Variante.

$A (b) = \frac{s \cdot b}{\sqrt{2}} - \frac{b^{2}}{4}$

$A' (b) = \frac{s}{\sqrt{2}} - \frac{b}{2} = 0$

$b = s \cdot \sqrt{2}$

Damit wäre wohl mehr als bewiesen, das für den Fall der Diagonalen als Basis das Dreieck maximalen Flächeninhalt hat.

...mit dem Umfang gehst du analog vor.

;-)

Flowergirl aktiv_icon

17:42 Uhr, 29.03.2010

Danke für eure Hilfe!!

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