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Dreieck mit max. Fläche in Ellipse

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Lagrange-Methode, Maximalwert

Jannik-F aktiv_icon

18:48 Uhr, 29.05.2019

Schönen guten Abend,

meine Aufgabe ist es den maximalen Flächeninhalt zu bestimmen, den ein gleichschenkliges Dreieck erreichen kann, wenn man es in die Ellipse

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

mit

a, b > 0

einschreibt. Hierbei soll sie Spitze, in der sich die gleichlangen Seiten treffen, in

(0, b)

liegen und eine Winkelhalbierende auf der y-Achse liegen.

Ich hab mir das ganze einmal zeichnen lassen, um es mir zu veranschaulichen und prinzipiell glaub ich zu verstehen, wie ich vorgehen muss.

Da die Fläche maximal werden soll ist

f (x, y)

die Formel für den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks, also allg.

0,5 \cdot c \cdot h,

wobei

c

die Grundseite und

h

die Höhe ist.
Das passende

g (x, y)

ist dann

g (x, y) = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1

.

An sich müsste ich ja jetzt nur

φ (x, y, λ) = f (x, y) + λ \cdot (g (x, y))

aufstellen, jeweils nach

x, y

und

λ

ableiten, gleich null setzen und das Gleichungssystem lösen, jedoch weiß ich nicht, wie ich das

c

und

h

aus der Formel für den Flächeninhalt mit Hilfe von

x

und

y

beschreiben kann, was ich ja brauche um die Formel sinnvoll aufzustellen.

Ich weiß nicht ob ich gerade komplett auf dem Schlauch stehe aber ich bräuchte dringend Hilfe dabei.

Vielen Dank schon einmal !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Roman-22

19:13 Uhr, 29.05.2019

Wenn du dir die Sache schon grafisch veranschaulicht hast, solltest du erkennen, dass

c = 2 \cdot x

und

h = b - y

ist. Und

x

und

y

hängen durch die Ellipsengleichung zusammen.

Deine Zielfunktion ist also

A (x, y) = x \cdot (b - y)

und du kannst auch ohne Lagrange direkt

y = - \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^{2} - x^{2}}

setzen und dann nach

x

ableiten, Null setzen,

. .

.

Zu deiner Kontrolle: Der maximal erreichbare Flächeninhalt ist

A_{m a x} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot a \cdot b

rundblick aktiv_icon

19:23 Uhr, 29.05.2019

.

gelöscht

\to

.. sehe, dass Roman-

22 \cdot

schneller war
- sorry, wollte mich nicht einmischen.

.

Jannik-F aktiv_icon

20:18 Uhr, 29.05.2019

Vielen Dank euch beiden,

Also ich habe die Zielfunktion

f (x, y) = x \cdot (b - y)

unter der Bedingung

g (x, y) = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1

.
Da ich zugegebener maßen nicht ganz verstehe, wie @Roman-22 auf

y = - \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^{2} - x^{2}}

kommt und da es ohnehin eine Übung zu Lagrange sein soll würde ich das ganze mit der Lagrange Methode zu lösen probieren.

Ich komme dann auf

φ (x, y, λ) = x \cdot b - x \cdot y + λ \cdot (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1)

Demnach sind

φ_{x} = b - y + λ (\frac{2 \cdot x}{a^{2}})

φ_{y} = - y + λ (\frac{2 y}{b^{2}})

φ_{λ} = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1

jeweils gleich 0 setzen und dann umstellen um auf das Gleichungssystem zu kommen :

- y + λ (\frac{2 x}{a^{2}}) = - b

- x + λ (\frac{2 y}{b^{2}}) = 0

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Was es zu lösen gilt ?

rundblick aktiv_icon

20:36 Uhr, 29.05.2019

.
da der Roman ja immer noch unsichbar anwesend? ist

\to

dazu eine Antwort :
"Also ich habe die Zielfunktion f(x,y)=x⋅(b-y) unter der Bedingung g(x,y)=...."

. . < -

NEIN !

richtig ist :
du hast die Zielfunktion f(x,y)=x⋅(b-y)
unter der RICHTIGEN Nebenbedingung

\to \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

(Klartext: der Punkt

(x; y)

liegt auf der Ellipse herum

. .)

alles klar ?

.

Jannik-F aktiv_icon

20:43 Uhr, 29.05.2019

Ja, so ist es natürlich richtig, aber um Lagrange anwenden zu können muss ich das ganze ja gleich 0 haben, deshalb muss die Nebenbedinung doch

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1

sein bevor man zu Lagrange ansetzt oder nicht ? Deshalb hatte ich die Bedingung schon so geschrieben, um mit ihr sofort rechnen zu können, oder liege ich jetzt irgendwo ganz falsch ?

rundblick aktiv_icon

20:57 Uhr, 29.05.2019

.
"Da ich zugegebener maßen nicht ganz verstehe, wie @Roman-22 auf

y = . .

. kommt "

dazu solltest du deine Fixierung auf "Lagrange" endlich mal vergessen (siehe

19 : 13

Uhr,

29.05.2019)

schaffst du es denn wirklich nicht

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

nach

y = . .

. aufzulösen ?
.. Roman konnte das , siehe

. .!

Jannik-F aktiv_icon

21:02 Uhr, 29.05.2019

Ja natürlich bekomme ich das hin

y = \sqrt{(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}) \cdot b^{2}}

und jetzt wo ich das seh wird mir auch klar wie er auf die Form

y = - \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^{2} - x^{2}}

kam. Aber nichts desto trotz muss die Aufgabe doch auch mit Lagrange lösbar sein oder nicht ?

Roman-22

21:40 Uhr, 29.05.2019

>

Aber nichts desto trotz muss die Aufgabe doch auch mit Lagrange lösbar sein oder nicht ?
Natürlich ist sie das und dein diesbezüglicher Ansatz ist auch völlig richtg.
Aber es gibt keine Garantie, dass der Ansatz mittels Lagrange immer einfacher ist als der klassische über die einfache Schulmathematik.

Ein möglicher Weg:

φ_{y} = 0 \Rightarrow λ = \frac{b^{2} x}{2 y}

Das nun einsetzen in

φ_{x} = 0

und nach

x^{2}

auflösen liefert

x^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}} \cdot (y^{2} - b \cdot y)

. So, jetzt ist

λ

draußen und das hätten wir auch billiger haben können.
Wenn du den Ausdruck nun in in die dritte Gleichung

φ_{λ} = 0

für

x^{2}

einsetzt, erhältst du für

y

die Lösungen

b

und

- \frac{b}{2}

. Die Lösung

y = b

entspricht dem Minimum, welches sich ergibt, wenn das Dreieck zum Punkt

(0 / b)

entartet.

y = - \frac{b}{2}

ist die Lösung die du suchst. Damit kommst du auf

x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} a

Atlantik aktiv_icon

11:44 Uhr, 03.06.2019

Maximieren eines gleichschenkligen Dreiecks im Kreis:

S (- 6 | 0)

x^{2} + y^{2} = 36

A (u) = \frac{2 \sqrt{36 - u^{2}} \cdot (6 + u)}{2} = \sqrt{36 - u^{2}} \cdot (6 + u)

A ´

(u) = \frac{(- 2 u) (6 + u)}{2 \cdot \sqrt{36 - u^{2}}} + \sqrt{36 - u^{2}} \cdot 1 = \frac{(- u) (6 + u)}{\sqrt{36 - u^{2}}} + \sqrt{36 - u^{2}} = \frac{(- u) (6 + u) + (36 - u^{2})}{\sqrt{36 - u^{2}}}

mit

\sqrt{36 - u^{2}} \neq 0

- 6 u - u^{2} + 36 - u^{2} = 0

u^{2} + 3 u = 18

u_{1} = - 6

entfällt

u_{2} = 3

A (3) = \sqrt{36 - 9} \cdot (6 + 3) = \sqrt{27} \cdot 9 \approx 46,77

{(6 + 3)}^{2} + 36 - 9 = c^{2}

c^{2} = 108 \to c = \pm 6 \cdot \sqrt{3}

2 \cdot \sqrt{36 - 9} = 6 \sqrt{3} \to

gleichseitiges Dreieck

Fortsetzung mit Ellipse folgt.

mfG

Atlantik

G r a p h :

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