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Durchdringung Zylinder/Kugel

Schüler

Tags: Durchdringung, Kugel, Zylinder

gimyhannes aktiv_icon

14:02 Uhr, 26.02.2010

Bei der Durchdringung Zylinders / Kugel unter einem Neigungswinkel ß entsteht ein Dreieck, siehe Bild. Für ein kleines Berechnungsprogramm benötige ich einen Rechnungsgang um die Länge zwischen den Schnittpunkten der Kugel / Zylinder d. H. die Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreieckes zu ermitteln. Vorgegeben ist der Radius der Kugel, der Neigungswinkel ß zur Y-Achse und der Durchmesser des Zylinders. Wichtig dabei ist , daß die Mittellinie des Zylinders immer durch den oberen Kugelschnittpunkt an der Y-Achse geht.

Habe bereits mehrere Stunden darüber geknobelt und noch keine Lösung gefunden.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DK2ZA aktiv_icon

17:32 Uhr, 01.03.2010

In der beigefügten Skizze ist $R =$ 8cm, d=8cm, beta=25°.

Gleichung der Geraden $g :$

$g (x) = m \cdot x + t$

y-Achsenabschnitt:
$t = R$

Steigung:
$m = \frac{Δ y}{Δ x}$
$Δ y = - \frac{Δ x}{tan (β)}$
$m = - \frac{1}{tan (β)}$

$g (x) = - \frac{1}{tan (β)} \cdot x + R$

Gleichung der Geraden $h_{1} :$

$a = \frac{d}{2 \cdot sin (β)}$

$h_{1} (x) = - \frac{1}{tan (β)} \cdot x + R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)}$

Gleichung der Geraden $h_{2} :$

$h_{2} (x) = - \frac{1}{tan (β)} \cdot x + R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)}$

Gleichung des Halbkreises $k :$

$k (x) = \sqrt{R^{2} - x^{2}}$

Schnittpunkt $D (x_{D} | y_{D})$ von $k$ und $h_{1} :$

$\sqrt{R^{2} - x^{2}} = - \frac{1}{tan (β)} \cdot x + (R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)})$

Quadrieren:

$R^{2} - x^{2} = {(- \frac{1}{tan (β)} \cdot x + (R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)}))}^{2}$

$R^{2} - x^{2} = \frac{1}{{(tan (β))}^{2}} \cdot x^{2} - \frac{2}{tan (β)} \cdot (R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)}) \cdot x + {(R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)})}^{2}$

$x^{2} \cdot (\frac{1}{{(tan (β))}^{2}} + 1) - \frac{2}{tan (β)} \cdot (R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)}) \cdot x + {(R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)})}^{2} - R^{2} = 0$

Gegebene Größen einsetzen:

$x^{2} \cdot (\frac{1}{{(tan (25))}^{2}} + 1) - \frac{2}{tan (25)} \cdot (8 - \frac{8}{2 \cdot sin (25)}) \cdot x + {(8 - \frac{8}{2 \cdot sin (25)})}^{2} - 8^{2} = 0$

$x^{2} \cdot 5,59890993209 + x \cdot 6,28257463494 - 61,854342408$

$x_{1} = - 3,93186183089$

$x_{2} = 2,80975507955$ (nicht sinnvoll)

$y_{1} = \sqrt{8^{2} - x_{1}^{2}} = 6,96709857421$

Damit ist $D (- 3,93186183089 | 6,96709857421)$

Schnittpunkt $E (x_{E} | y_{E})$ von $k$ und $h_{2} :$

$\sqrt{R^{2} - x^{2}} = - \frac{1}{tan (β)} \cdot x + (R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)})$

Quadrieren:

$R^{2} - x^{2} = {(- \frac{1}{tan (β)} \cdot x + (R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)}))}^{2}$

$R^{2} - x^{2} = \frac{1}{{(tan (β))}^{2}} \cdot x^{2} - \frac{2}{tan (β)} \cdot (R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)}) \cdot x + {(R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)})}^{2}$

$x^{2} \cdot (\frac{1}{{(tan (β))}^{2}} + 1) - \frac{2}{tan (β)} \cdot (R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)}) \cdot x + {(R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)})}^{2} - R^{2} = 0$

Gegebene Größen einsetzen:

$x^{2} \cdot (\frac{1}{{(tan (25))}^{2}} + 1) - \frac{2}{tan (25)} \cdot (8 + \frac{8}{2 \cdot sin (25)}) \cdot x + {(8 + \frac{8}{2 \cdot sin (25)})}^{2} - 8^{2} = 0$

$x^{2} \cdot 5,59890993209 - x \cdot 74,9067960913 + 241,019460235$

$x_{1} = 5,38532956869$

$x_{2} = 7,99348827262$ (nicht sinnvoll)

$y_{1} = \sqrt{8^{2} - x_{1}^{2}} = 5,91592980322$

Damit ist $E (5,38532956869 | 5,91592980322)$

Die Länge der Strecke $c$ ist damit

$c = \sqrt{{(x_{D} - x_{E})}^{2} + {(y_{D} - y_{E})}^{2}} = 9,37630051574$

GRUSS, DK2ZA

gimyhannes aktiv_icon

12:17 Uhr, 02.03.2010

Vielen Dank für die Lösung! Darauf wäre ich nie gekommen!

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