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Durchdringung Zylinder/Kugel

Schüler

Tags: Durchdringung, Kugel, Zylinder

gimyhannes aktiv_icon

14:02 Uhr, 26.02.2010

Bei der Durchdringung Zylinders / Kugel unter einem Neigungswinkel ß entsteht ein Dreieck, siehe Bild. Für ein kleines Berechnungsprogramm benötige ich einen Rechnungsgang um die Länge zwischen den Schnittpunkten der Kugel / Zylinder d. H. die Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreieckes zu ermitteln. Vorgegeben ist der Radius der Kugel, der Neigungswinkel ß zur Y-Achse und der Durchmesser des Zylinders. Wichtig dabei ist , daß die Mittellinie des Zylinders immer durch den oberen Kugelschnittpunkt an der Y-Achse geht.

Habe bereits mehrere Stunden darüber geknobelt und noch keine Lösung gefunden.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DK2ZA aktiv_icon

17:32 Uhr, 01.03.2010

In der beigefügten Skizze ist

R =

8cm, d=8cm, beta=25°.

Gleichung der Geraden

g :

g (x) = m \cdot x + t

y-Achsenabschnitt:

t = R

Steigung:

m = \frac{Δ y}{Δ x}

Δ y = - \frac{Δ x}{tan (β)}

m = - \frac{1}{tan (β)}

g (x) = - \frac{1}{tan (β)} \cdot x + R

Gleichung der Geraden

h_{1} :

a = \frac{d}{2 \cdot sin (β)}

h_{1} (x) = - \frac{1}{tan (β)} \cdot x + R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)}

Gleichung der Geraden

h_{2} :

h_{2} (x) = - \frac{1}{tan (β)} \cdot x + R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)}

Gleichung des Halbkreises

k :

k (x) = \sqrt{R^{2} - x^{2}}

Schnittpunkt

D (x_{D} | y_{D})

von

k

und

h_{1} :

\sqrt{R^{2} - x^{2}} = - \frac{1}{tan (β)} \cdot x + (R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)})

Quadrieren:

R^{2} - x^{2} = {(- \frac{1}{tan (β)} \cdot x + (R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)}))}^{2}

R^{2} - x^{2} = \frac{1}{{(tan (β))}^{2}} \cdot x^{2} - \frac{2}{tan (β)} \cdot (R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)}) \cdot x + {(R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)})}^{2}

x^{2} \cdot (\frac{1}{{(tan (β))}^{2}} + 1) - \frac{2}{tan (β)} \cdot (R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)}) \cdot x + {(R - \frac{d}{2 \cdot sin (β)})}^{2} - R^{2} = 0

Gegebene Größen einsetzen:

x^{2} \cdot (\frac{1}{{(tan (25))}^{2}} + 1) - \frac{2}{tan (25)} \cdot (8 - \frac{8}{2 \cdot sin (25)}) \cdot x + {(8 - \frac{8}{2 \cdot sin (25)})}^{2} - 8^{2} = 0

x^{2} \cdot 5,59890993209 + x \cdot 6,28257463494 - 61,854342408

x_{1} = - 3,93186183089

x_{2} = 2,80975507955

(nicht sinnvoll)

y_{1} = \sqrt{8^{2} - x_{1}^{2}} = 6,96709857421

Damit ist

D (- 3,93186183089 | 6,96709857421)

Schnittpunkt

E (x_{E} | y_{E})

von

k

und

h_{2} :

\sqrt{R^{2} - x^{2}} = - \frac{1}{tan (β)} \cdot x + (R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)})

Quadrieren:

R^{2} - x^{2} = {(- \frac{1}{tan (β)} \cdot x + (R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)}))}^{2}

R^{2} - x^{2} = \frac{1}{{(tan (β))}^{2}} \cdot x^{2} - \frac{2}{tan (β)} \cdot (R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)}) \cdot x + {(R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)})}^{2}

x^{2} \cdot (\frac{1}{{(tan (β))}^{2}} + 1) - \frac{2}{tan (β)} \cdot (R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)}) \cdot x + {(R + \frac{d}{2 \cdot sin (β)})}^{2} - R^{2} = 0

Gegebene Größen einsetzen:

x^{2} \cdot (\frac{1}{{(tan (25))}^{2}} + 1) - \frac{2}{tan (25)} \cdot (8 + \frac{8}{2 \cdot sin (25)}) \cdot x + {(8 + \frac{8}{2 \cdot sin (25)})}^{2} - 8^{2} = 0

x^{2} \cdot 5,59890993209 - x \cdot 74,9067960913 + 241,019460235

x_{1} = 5,38532956869

x_{2} = 7,99348827262

(nicht sinnvoll)

y_{1} = \sqrt{8^{2} - x_{1}^{2}} = 5,91592980322

Damit ist

E (5,38532956869 | 5,91592980322)

Die Länge der Strecke

c

ist damit

c = \sqrt{{(x_{D} - x_{E})}^{2} + {(y_{D} - y_{E})}^{2}} = 9,37630051574

GRUSS, DK2ZA

gimyhannes aktiv_icon

12:17 Uhr, 02.03.2010

Vielen Dank für die Lösung! Darauf wäre ich nie gekommen!

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