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Eigenwerte und Eigenvektoren mit Parametern

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Parameter

Philippus aktiv_icon

15:41 Uhr, 10.06.2020

Hallo zusammen,

nachdem wir Eigenwerte und Eigenvektoren besprochen haben und ich diese auch berechnen kann, sollen wir nun folgende Aufgabe lösen. Sobald Parameter dabei sind, habe ich allerdings immer Probleme.

F = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - t & t \\ 0 & t & 1 - t \end{matrix}),

wobei

0 \leq t \leq \frac{1}{2}

1)

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von F.

Zuerst muss ich die Determinante der Matrix, von deren Hauptdiagonale ich

λ

abziehe, bilden. Dabei komme ich zu folgendem Ergebnis:

F = (\begin{matrix} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - t - λ & t \\ 0 & t & 1 - t - λ \end{matrix})

det = (1 - λ) \cdot (1 - t - λ) \cdot (1 - t - λ) - t \cdot t \cdot (1 - λ)

det = (1 - λ) \cdot (1 - t - λ) \cdot (1 - t - λ) - t^{2} \cdot (1 - λ)

. .

det = - λ^{3} - 2 λ^{2} t + 3 λ^{2} + 4 λ t - 3 λ - 2 t - 1

Jetzt ist mir allerdings nicht ganz klar, wie ich mit dem Ausdruck

det = - λ^{3} - 2 λ^{2} t + 3 λ^{2} + 4 λ t - 3 λ - 2 t - 1

weiter verfahren soll. Weiterhin ist mir auch nicht klar, wie ich die Bedingung

0 \leq t \leq \frac{1}{2}

beim Lösen miteinbeziehen kann.

2)

Was sind die Eigenwerte von

F^{n}, n

Element

ℕ,

und wie verhalten sie sich für

n \to \infty

?
Hinweis: Wenn die quadratische Matrix A den Eigenwert

λ

hat, dann hat

A^{n}

den Eigenwert

λ^{n}

.

Hier stehe ich leider völlig auf der Leitung und weiß nicht, wo ich ansetzen soll. Kann es eventuell mit der Diagonalisierung einer Matrix zusammenhängen?

Viele Grüße
Philippus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

15:48 Uhr, 10.06.2020

In 1 ist es ein Fehler, auszuklammern. Du hast die Gleichung

(1 - λ) \cdot P (λ) = 0

mit einem quadratischen Polynom

P

. Daraus folgt:

λ = 1

oder

P (λ) = 0

. Diese letzte Gleichung muss man lösen. Sie ist aber quadratisch, das geht also mit der p-q-Formel oder auch direkt.

"Hier stehe ich leider völlig auf der Leitung und weiß nicht, wo ich ansetzen soll. Kann es eventuell mit der Diagonalisierung einer Matrix zusammenhängen?"

Nein, das ist viel einfacher. Einfach nach dem Hinweis. Wenn z.B.

1

ein EW von

F

ist, dann ist

1

aus ein Eigenwert von allen

F^{n}

, wegen

1^{n} = 1

michaL aktiv_icon

15:52 Uhr, 10.06.2020

Hallo,

dass du die Sarrussche Regel für die Determinante angewendet hast, war ein strategischer Fehler. Nimm lieber den Entwicklungssatz von Laplace, dann wird das Faktorisieren einfacher.

Mfg Michael

PS: Ups, da war jemand schneller.

Philippus aktiv_icon

18:05 Uhr, 10.06.2020

Guten Tag DrBoogie und michaL,

vielen Dank für Eure Antworten! Ich wende leider meistens (fast schon automatisch) die Regel von Sarrus an, obwohl in vielen Fällen (hier ebenfalls) der Entwicklungssatz sinnvoller wäre. Das muss ich mir wirklich abgewöhnen.

Ich habe ihn jetzt angewendet und komme (auch nach mehrmaligem Nachrechnen) immer auf folgendes Ergebnis. Da scheint mir auch der Wurm drin zu sein, ich weiß allerdings nicht wo.

Entwicklung nach 1. Spalte:

det = (1 - λ) \cdot | \begin{matrix} 1 - t - λ & t \\ t & 1 - t - λ \end{matrix} |

det = (1 - λ) \cdot ((1 - t - λ) \cdot (1 - t - λ) - t - t)

det = (1 - λ) \cdot ((1 - t - λ - t + t^{2} + λ t - λ + λ t + λ^{2}) - t^{2})

det = (1 - λ) \cdot (1 - 2 t - 2 λ + 2 λ t + λ^{2})

det = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 2 λ^{2} t + 4 λ t - 2 t - 3 λ + 1

zur zweiten Teilaufgabe:

Vielen Dank für Deinen Hinweis, DrBoogie. Ich schreibe zu der zweiten Teilaufgabe noch etwas, wenn ich die erste gelöst habe. In gewisser Hinsicht bauen die Aufgaben ja aufeinander auf.

Viele Grüße
Philippus

michaL aktiv_icon

18:45 Uhr, 10.06.2020

Hallo,

jetzt machst du den gleichen Fehler noch einmal!

\det = (1 - λ) {{[(1 - t) - λ]}^{2} - t^{2}}

Du multiplizierst den Inhalt der geschweiften Klammer aus, obwohl du doch eigentlich diesen faktorisieren willst.

Ich erkenne in der Klammer einen Term der Art

a^{2} - b^{2}

. Du auch?
Und seit der 8. Klasse weiß ich, wie man den faktorisiert.

BTW, auch ich möchte gern eine Lanze dafür brechen das char. Polynom NICHT als

χ_{A} (x) = \det (A - λ E)

zu berechnen, sondern genau umgekehrt

χ_{A} (x) = \det (λ E - A)

.
Was ändert sich? Es fallen von Anfang an jede Menge negative Vorzeichen vor dem

λ

in der Determinante weg.
Im Ergebnis hat das Polynom auch(!) bei ungeraden Leitexponenten (Dimension der Matrix) keinen negativen Leitkoeffizienten. Wer kommt eigentlich auf einen derartigen Mist?

Mfg Michael

Philippus aktiv_icon

21:09 Uhr, 10.06.2020

Guten Abend Michael,

vielen Dank für Deine Geduld! Ich muss gestehen, ich stehe zur Zeit aus einer Vielzahl von Gründen ziemlich neben mir, muss diese Aufgabe aber trotzdem lösen. Daher rührt auch der Fauxpas mit dem erneuten Ausklammern. Daher bitte ich um Entschuldigung, wenn der Groschen bei mir nicht direkt fällt.

Anstatt

det = ((1 - t - λ) \cdot (1 - t - λ) - t - t)

auszuklammern muss es wie von Dir gezeigt umgestellt werden. Das ist nachvollziehbar und ich weiß nicht, weshalb ich es nicht gesehen habe.

Du fragst nach einem Term der Art

a^{2} - b^{2},

also der dritten binomischen Formel, in der Klammer von

det = ({((1 - t) - λ)}^{2} - t^{2})

Meinst Du

{((1 - t) - λ)}^{2}

und

t^{2}

?

Viele Grüße
Philippus

PS: Vielen Dank für Deinen Hinweis bezüglich des Berechnens des charakteristischen Polynoms. Der Grund für Deinen Weg ist nachvollziehbar und ich versuche, es in Zukunft auch auf diese Art und Weise durchzuführen.

DrBoogie aktiv_icon

12:01 Uhr, 11.06.2020

(1 - λ) \cdot ((1 - λ - t)^{2} - t^{2}) = 0

λ = 1

oder

(1 - λ - t)^{2} - t^{2} = 0

.
Im zweiten Fall haben wir

(1 - λ - t)^{2} - t^{2} = (1 - λ - t - t) (1 - λ - t + t) = 0

(1 - λ - 2 t) (1 - λ) = 0

λ = 1

oder

λ = 1 - 2 t

.
Damit sind alle EW ermittelt.

Philippus aktiv_icon

14:08 Uhr, 11.06.2020

Hallo DrBoogie,

vielen Dank für die Erläuterung. Mir ist jetzt klar, was Ihr versucht habt, mir zu erklären. Es tut mir leid, dass ich derart auf der Leitung gestanden habe. Daher noch einmal vielen Dank für Eure Mühe und Geduld!

Ich habe es selber noch einmal nachgerechnet und komme ebenfalls auf die Eigenwerte

λ_{1},_{3} = 1

und

λ_{2} = 1 - 2 t

.
Zu diesen Eigenwerten berechne ich nun die jeweiligen Eigenvektoren, in dem ich den Wert für

λ

auf der Hauptdiaogonalen abziehe und anschließend mittels Gauß-Algorithmus das Lineare Gleichungssystem löse.

Für

λ_{1},_{3} = 1

(\begin{matrix} 1 - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - t - 1 & t \\ 0 & t & 1 - t - 1 \end{matrix})

Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & - t & t | 0 \\ 0 & t & - t | 0 \end{matrix})

. .

. und nach mehreren Umformungen:

(\begin{matrix} 0 & t & - t | 0 \\ 0 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & 0 | 0 \end{matrix})

Es sind zwei Nullzeilen vorhanden, somit kann ich zwei Parameter frei wählen. Ich setze

x_{1} = v

und

x_{3} = w

.

Nun setze ich in die 1. Gleichung ein und erhalte dann:

(\begin{matrix} v \\ t \cdot w \\ w \end{matrix})

Für

v = 1

ergibt sich

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und für

w = 1

ergibt sich

(\begin{matrix} 0 \\ t \cdot 1 \\ 1 \end{matrix})

Für

λ_{2} = 1 - 2 t

wäre es folgender Ansatz:

(\begin{matrix} 1 - (1 - 2 t) & 0 & 0 \\ 0 & 1 - t - (1 - 2 t) & t \\ 0 & t & 1 - t - (1 - 2 t) \end{matrix})

Ist das bis zu diesem Punkt soweit korrekt, oder habe ich den nächsten Fehler eingebaut?

Viele Grüße
Philippus

Nick76 aktiv_icon

14:56 Uhr, 11.06.2020

Die Umformungen des LGS sind soweit richtig.
Am Schluss erhält man:

t \cdot x_{2} - t \cdot x_{3} = t \cdot (x_{2} - x_{3}) = 0

Das ist erfüllt für

t = 0

oder

x_{2} = x_{3}

.
Es ist also eine Fallunterscheidung notwendig.
Für

t = 0

ist

λ = 1

3-facher Eigenwert und der Eigenraum 3-dimensional.
Eine Basis für den Eigenraum wäre dann beispielsweise

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), v_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Für

t \neq 0

folgt

x_{2} = x_{3}

mit

x_{1}

beliebig, was einen 2-dimensionalen Eigenraum ergibt (diesen Fall hattest Du bereits durchgerechnet) mit Basis

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Philippus aktiv_icon

18:17 Uhr, 11.06.2020

Hallo Nick,

vielen Dank für Deine Antwort und den Hinweis mit der Fallunterscheidung!

Für

λ_{2} = 1 - 2 t

habe ich über das Gleichungssystem folgenden Eigenvektor ermittelt:

(\begin{matrix} 2 t & 0 & 0 | 0 \\ 0 & t & t | 0 \\ 0 & 0 & 0 | 0 \end{matrix})

eine Nullzeile

\to

ein freier Parameter

\to x_{3} = s

daraus ergibt sich:

(\begin{matrix} 0 \\ - s \\ s \end{matrix})

und für

s = 1

somit

(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

Wenn ich richtig gerechnet habe, dann gibt es bei dem Eigenvektor für

λ_{2} = 1 - 2 t

keine Fallunterscheidung.

Viele Grüße
Philippus

Nick76 aktiv_icon

12:12 Uhr, 12.06.2020

Das ist richtig. Für

λ = 1 - 2 \cdot t

kann man

0 < t \leq \frac{1}{2}

voraussetzen, denn der Fall

t = 0

wurde schon durchgerechnet.

Gruß

Nick

Philippus aktiv_icon

17:42 Uhr, 12.06.2020

Vielen Dank, Nick!

Philippus aktiv_icon

17:42 Uhr, 12.06.2020

Vielen Dank, Nick!

Philippus aktiv_icon

14:24 Uhr, 13.06.2020

Hallo,

ich habe doch noch eine Rückfrage zu der zweiten Teilaufgabe.

Was sind die Eigenwerte von

F^{n}, n

Element

ℕ,

und wie verhalten sie sich für

n \to \infty

?
Hinweis: Wenn die quadratische Matrix A den Eigenwert

λ

hat, dann hat

A^{n}

den Eigenwert

λ^{n}

.

Die Eigenwerte für die Matrix

F

lauten:

λ_{1} = 1

λ_{2} = 1 - 2 t

λ_{3} = 1

Dementsprechend müssten die Eigenwerte für

F^{n}

somit lauten:

{(λ_{1})}^{n} = {(1)}^{n}

{(λ_{2})}^{n} = {(1 - 2 t)}^{n}

{(λ_{3})}^{n} = {(1)}^{n}

Für

n \to \infty

würden die Eigenwerte sich analog verhalten, also auch gegen

\infty

laufen.

Ist das soweit korrekt? Ich habe versucht, es nachzurechnen und es scheint (bis auf einige Nachkommastellen) auch zu stimmen.

Viele Grüße
Philippus

Nick76 aktiv_icon

14:58 Uhr, 13.06.2020

Wieso laufen die Eigenwerte gegen

\infty

?
Es gilt doch

lim_{n \to \infty} 1^{n} = 1

Und

λ = 1 - 2 \cdot t

ist kleiner 1 für

0 < t \leq \frac{1}{2},

also gilt

lim_{n \to \infty} {(1 - 2 \cdot t)}^{n} = 0

Philippus aktiv_icon

15:55 Uhr, 13.06.2020

Hallo Nick,

vielen Dank für Deine Antwort und die Erläuterung! Das war ein Denkfehler meinerseits. Wenn ich die Erläuterung korrekt verstanden habe, dann sollte für

n \to \infty

gelten:

{(λ_{1})}^{n} = {(1)}^{n} = 1

{(λ_{2})}^{n} = {(1 - 2 t)}^{n} = 0

{(λ_{3})}^{n} = {(1)}^{n} = 1

Viele Grüße
Philippus

Nick76 aktiv_icon

17:19 Uhr, 13.06.2020

Ja, das passt;-)

Gruß

Nick

Philippus aktiv_icon

17:45 Uhr, 13.06.2020

Vielen Dank Nick!

Jetzt habe ich es verstanden. Es tut mir leid, dass ich dieses Mal derart auf der Leitung gestanden habe. Das ist normalerweise eigentlich nicht der Fall und ich hoffe, dass es bei zukünftigen Fragen auch nicht mehr passiert. :-)

Viele Grüße
Philippus

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