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Eindeutigkeit des Limes einer rellen Zahlenfolge

Schüler

Tags: Konvergenz, reelle Zahlenfolge

max0234 aktiv_icon

18:47 Uhr, 29.10.2013

Hallo Forum,

ich soll beweisen, dass eine gegen

a \in R

konvergente reelle Zahlenfolge genau einen Grenzwert hat, und weiss überhaupt nicht, was es da zu beweisen geben soll.
In der Aufgabe steht doch bereits, dass a und kein anderer der Grenzwert ist. Oder droht auch auch hier wieder die Epsilontik ?

Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Bummerang

19:04 Uhr, 29.10.2013

Hallo,

ihr habt eine Definition, wann eine Zahl a Grenzwert der Zahlenfolge

a_{n}

ist. Da steht aber nicht drin, dass es nur ein a gibt. Also ist das zu beweisen!

max0234 aktiv_icon

20:09 Uhr, 29.10.2013

Also doch mit "epsilon" ?

Hallo Bummerang, wie man die Betragsstriche schreiben kann, weiß ich nicht. Aber vielleicht geht es auch so:

(a_{n}) \to a : \Leftrightarrow

Zu jedem positiven

ε \in ℝ

gibt es ein

N (ε) \in ℕ,

so dass für alle

n \in ℕ

gilt:

n > N \Rightarrow

betrag

(a_{n} - a) < ε

.

Und wie weiter ?

oculus aktiv_icon

20:36 Uhr, 29.10.2013

Hallo Max,

so etwas beweist man mit einem Widerspruchsbeweis. Du nimmst an, es gäbe noch einen weiteren von a verschiedenen Grenzwert

b

. Versuch mal, ob du so weiterkommst.

oculús

max0234 aktiv_icon

10:38 Uhr, 30.10.2013

Wenn es noch einen Grenzwert

b

der Folge

(a_{n})

gibt, dann gilt auch dafür: Zu jedem positiven

ε \in ℝ

gibt es ein

N (ε) \in ℕ,

so dass betrag(a_n

- b) < ε

für alle

n > N (ε)

.

Aber wieso hilft mir das weiter?

Max

Sina86

10:43 Uhr, 30.10.2013

Hallo,

wenn

a \neq b

ist, was gilt dann für

∣ a - b ∣

?

Beste Grüße
Sina

max0234 aktiv_icon

10:45 Uhr, 30.10.2013

Hallo Sina,

betrag(a-b)>0.
Meinst du das?

Sina86

10:47 Uhr, 30.10.2013

Genau, jetzt überleg mal, wie dir das weiterhelfen könnte. Was bedeutet es denn anschaulich, wenn eine Folge gegen einen Grenzwert

a

konvergiert?

max0234 aktiv_icon

10:57 Uhr, 30.10.2013

Dass die Folgenglieder

a_{n}

mit wachsendem

n

den Grenzwerten a und

b

beliebig nahe kommen.
Ja, jetzt dämmert es mir. Ja näher die

a_{n}

bei a liegen, um so weiter liegen sie von

b

entfernt, so dass die zweite Forderung, dass die

a_{n}

mit wachsendem

N

auch

b

beliebig nahe kommen müssen, mit der Konvergenz gegen a nicht vereinbar ist. Aber ist diese anschauliche Plausibilitätserklärung schon ein Beweis?

Max

Sina86

11:08 Uhr, 30.10.2013

Das ist auf jeden Fall der Grundgedanke. Jetzt ist nur noch die Frage, was ist nah und was ist fern. Man kann es auch noch etwas deutlicher sagen:

Eine Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

konvergiert gegen einen Grenzwert

a

, wenn für jedes beliebige

ɛ > 0

fast alle (nämlich alle, bis auf endlich viele) Folgenglieder in der

ɛ

-Umgebung

B_{ɛ} (a) := {x \in ℝ : ∣ x - a ∣ < ɛ}

von

a

liegen (diese Umgebung ist dann der Bereich, den man "nah an

a

" nennen würde).

Falls das noch nicht so bekannt ist, sollte eine kurze Überprüfung klar machen, dass diese Erklärung mit der Definition für einen Grenzwert einer Folge übereinstimmt.

Jetzt hast du aber nicht nur einen Grenzwert, sondern du hast zwei Grenzwerte. Wie musst du nun

ɛ > 0

wählen, so dass

B_{ɛ} (a) \cap B_{ɛ} (b) = \emptyset

? Denn wenn das gegeben ist, dann ist ein Folgeglied, das "nah an

a

" liegt nicht mehr "nah an

b

max0234 aktiv_icon

11:15 Uhr, 30.10.2013

Danke Sina,

um deine letzte Antwort zu verstehen brauche ich etwas Zeit.
Vorerst vielen Dank. Ich melde mich heute Abend wieder.

Gruß von

Max

max0234 aktiv_icon

18:34 Uhr, 30.10.2013

Von der Anschauung her glaube ich es verstanden zu haben: Man muss

ε <

1/2*betrag(b-a) wählen,

z . B

ε =

1/4*betrag(b-a),
weil dann die beiden

ε -

Umgebungen keine gemeinsamen Elemente haben können.

Aber wie ist das rechnerisch bei dieser Wahl von

ε

?
Man müsste zeigen:

x \in B_{ε} (a) \land x \in B_{ε} (b) \Rightarrow x \in \emptyset

d . h

. es muss gezeigt werden, dass es kein

x \in ℝ

gibt, so dass
sowohl

a -

1/4*betrag(b-a)

< x < a +

1/4*betrag(b-a)
als auch

b -

1/4*betrag(b-a)

< x < b

+1/4*betrag(b-a) .

Darf man jetzt einfach die zweite Ungleichungskette von der ersten subtrahieren und bekommt

a - b < 0 < a - b,

was einen Widerspruch ergibt, denn eine Zahl aus

ℝ

kann nicht sowohl kleiner als auch größer als Null sein.
Aber das kann ja wohl nicht sein, denn diese Rechnerei würde ja auch für

ε =

2*betrag(b-a) funktionieren.

Wo liegt da mein gedanklicher Fehler ?

Max

pwmeyer aktiv_icon

19:41 Uhr, 30.10.2013

Hallo,

mach Dir zunächst mal klar, dass man Ungleichungen nicht subtrahieren darf.

Dann lass Dich mal von

| a - b | = | a - x + x - b |

inspirieren.

Gruß pwm

max0234 aktiv_icon

22:10 Uhr, 30.10.2013

Hallo pwmeyer,

und danke für den Hinweis, durch

a - b = (a - x) + (x - b)

die Dreiecksungleichung zu nutzen.

Ich belass es bei den Ungleichungen jetzt bei den Beträgen.

z . z

a \neq b \land (x - a) <

1/4*betrag(a-b)

\land

betrag(x-b)

<

1/4*betrag(a-b)

\Rightarrow x \in \emptyset

Es gilt
betrag(x-a)

<

1/4*betrag(a-b)

\leq

1/4*(betrag(a-x)+betrag(x-b))

\Rightarrow

3*betrag(x-a)

<

betrag(x-b)
und (analog)
betrag(x-b)

<

1/4*(betrag(a-x)+betrag(x-b))

\Rightarrow

3*betrag(x-b)

<

betrag(x-a)

Somit für alle

x \neq a

der Widerspruch
betrag(x-b)/betrag(x-a)

> 3

und betrag(x-b)/betrag(x-a)

< \frac{1}{3}

.

Einverstanden?

Gruß

Max

max0234 aktiv_icon

18:49 Uhr, 31.10.2013

Hallo Leute,

da meine Frage noch auf eine Beantwortung wartet, möchte ich denen von euch, die auch wie ich - wie ihr oben seht - Schwierigkeiten mit dem Schreiben von Zeichen haben, die nicht im Formeleditor stehen, das Ergebnis meiner "Recherche" mitteilen:

[=

Alt Gr

+ 8

oder StrgAlt

+ 8 :

eckige Klammer links

] =

Alt Gr

+ 9

oder StrgAlt

+ 9 :

eckige Klammer rechts

{=

Alt Gr

+ 7

oder StrgAlt

+ 7 :

geschweifte Klammer links

} =

Alt Gr

+ 0

oder StrgAlt

+ 0 :

geschweifte Klammer rechts

Nur für die Absolut- oder Betragsstriche, die ich in meinem Text gebraucht hätte, finde ich keine Lösung.

Gruß von
Max

pwmeyer aktiv_icon

19:26 Uhr, 31.10.2013

Hallo,

die Beträge nehme ich einfach von der Tastatur, also mit Alt Gr und <.

Zur Sache: Ich meinte:

| a - b | = | a - x + x - b | \leq | a - x | + | b - x | < \frac{1}{2} \cdot | a - b |

Gruß pwm

max0234 aktiv_icon

22:44 Uhr, 31.10.2013

Danke pwmeyer,

dass sich der Betragsstrich | beim <-Zeichen versteckt hat, habe ich nicht gemerkt. Danke für den Hinweis.

Im Übrigen müsste ich nach deiner letzten Antwort die Aufgabe ja wohl richtig unter Nutzung deiner Anleitung gelöst haben.

Leider konnte ich deine Hilfe bei der Bewertung der Forum-Mitglieder, die meine Frage beantwortet haben, nicht mit einbeziehen, da dein Name in der Liste der zu bewertenden Helfer nicht vorkam.

Also dir nochmal ein Dankeschön.

Max

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