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Eindeutigkeitsbeweis p=a^2+b^2
Universität / Fachhochschule
Primzahlen
Tags: Eindeutigkeitsbeweis, Gauß'sche Primzahl, Quadrat, Summe
 
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Hallo ihr Mathegenies, ich wäre euch sehr dankbar, wenn ich mir auch bei jener Aufgabe helfen könnt: Zeigen Sie: Wenn eine Primzahl die Summe von zwei Quadraten ist, also mit aus den natürlichen Zahlen, dann ist diese Darstellung eindeutig (bis auf Vertauschung von a und . Ich habe keine Ahnung, wie ich das im Rahmen der Gauß'schen Primzahlen beweisen soll. Meine Vermutung: Mithilfe des Zwei - Quadrate Satzes?? Zwei - Quadrate - Satz: Genau dann ist Summe von zwei Quadraten, wenn in der kanonischen Primfaktorzerlegung von keine Primzahl mit kongruent mit ungeradem Exponenten aufrtitt. Ich würde inkongruent setzen. Nach dem Beweis des Zwei - Quadrate - Satzes ist die Norm einer Gauß'schen Zahl, also p=N(a*bi)=a^2+b^2. Nur irgendwie bleibe ich hängen. Dieser Ansatz kann doch nicht stimmen oder?? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, was wäre, wennsie nicht eindeutig wäre? Mfg Michael |
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Hier findest Du die Lösung: http://www.math.uni-leipzig.de/~schueler/habil/probe.pdf (konkret Satz 3 und der Absatz davor) |
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Vielen Dank für deine hilfreiche Antwort, Dr. Boogie!! Im Kurs haben wir bisher den Satz von Thue noch nicht durchgenommen, welcher meiner Ansicht nach für den Beweis der Eindeutigkeit irrelevant ist. Was ich jedoch nicht ganz nachvollziehen kann, ist die Vertauschung von und . Denn nehme ich konkrete Zahlen her, so gilt ist nicht kongruent zu . Könntest du mir dies kongruent erklären? Erneut vielen Dank für deine bisherige Hilfe!! |
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Du hast für nur die Bedingung . Natürlich kann man hier und vertauschen, der Ausdruck ist doch symmetrisch. Definiere einfach als und als . |
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Aso, ja stimmt!! Tut mir leid für meine Dummheit!! Vielen, vielen liebe Dank!! Dankeschön!! |
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