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Eine Aufgabe in Stereometrie
Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe
Tags: Achsenschnittpunkte, Gleichseitiges Dreieck, Kegel, Kugel, Oberfläche, Stereometrie, Verhältnis
 
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Hallo, folgende Aufgabe macht mich wahnsinnig!! Ich habe null Ahnung davon!! :( Hoffentlich kann mir jemand helfen!! Aufgabe: Einem Kegel mit einem gleichseitigen Dreieck als Achsenschnitt ist eine Kugel einbeschrieben und eine weitere Kugel umbeschrieben. In welchem Verhältnis stehen die Oberflächen der drei Körper zueinander? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kegel (Mathematischer Grundbegriff) Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Flächenmessung Kreisteile: Berechnungen am Kreis Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder Volumen und Oberfläche einer Pyramide Volumen und Oberfläche eines Kegels Volumen und Oberfläche eines Prismas |
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Hallo, wie immer bei solchen Aufgaben gibt es einen einfachen Schutz vor dem Wahnsinn: Eine gute Skizze! Zunächst zeichnen wir von dem Kegel mal die Schnittfläche des Achsenschnitts. Das ist, wie in der aufgabe steht ein gleichseitiges (!!!) Dreieck mit der Seitenlänge a. Jetzt stellen wir uns einen beliebigen Kegel mit einer Kugel drumherum vor. Was sehen wir? Die Kegelspitze ist ein Punkt auf der Kugeloberfläche und die Randpunkte der Grundfläche liegen alle auf der Kugel. Die Kegelachse ist eine Polachse der Kugel, d.h. jeder Schnitt entlang der Kegelachse schneidet die Kugel in zwei gleich Hälften und der Schnittkreis ist maximal groß und hat somit den selben Radius wie die Kugel. Diesen gedachten Kegel mitsamt der Kugel schneiden wir auch mal an der Achse auf. Und was sehen wir? Die Kugel ist bildet in dem Schnitt den Umkreis des Dreiecks vom Kegelschnitt. Jetzt können wir in unserer Skizze das eben gedachte einzeichnen, d.h. den Umkreis des gleichseitigen Dreiecks konstruieren. Jetzt haben wir ein gleichseitiges Dreieck und von dem wissen wir sehr viel: Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Mittelpunkt des Umkreises), der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (Mittelpunkt des Inkreises), der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden (Schwerpunkt) und der Schnittpunkt der Höhenlinien (das sogenannte Orthozentrum) fallen aufeinander. d.h. hat man den einen konstruiert, hat man alle Punkte gefunden. Jetzt weiß man (oder zeigt es schnell), daß sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneiden, d.h. der Abstand des schnittpunktes der Seitenhalbierenden von den Eckpunkten ist doppelt so groß, wie der Abstand vom Mittelpunkt der Seite. Da der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden mit den anderen Punkten zusammenfällt, vererbt sich diese Eigenschaft in gleichseitigen Dreiecken auf alle 4 Punkte, also auch auf den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (und damit auf den Mittelpunkt des Umkreises) und auf den Schnittpunkt der Höhenlinien. Damit wissen wir, daß der Umkreisradius 2/3 der Höhe des Dreiecks entspricht. Jetzt stellen wir uns wieder einen beliebigen Kegel vor, diesmal mit einer Kugel innen drin. Was sehen wir jetzt? Die Kugel berührt die Grundfläche des Kegels in dem Punkt, in dem die Kegelachse durch die Grundfläche geht. Die Kugel berührt auf einer Höhe den Mantel ringsherum. Der Kugelmittelpunkt liegt irgendwo auf der Kegelachse. Schneiden wir also den Kegel mitsamt der Kugel entlang der Kegelachse auf, dann sehen wir das Dreieck mit einem Kreis drin, der das Schnittdreieck an jeder Seite berührt. Der Kreis den wir sehen ist der Inkreis! Der Radius dieses Inkreises ist der Abstand des Kreismittelpunktes von den 3 Seiten. Wie bereits gesagt, ist das aber genau 1/3 der Höhe des Dreiecks. Fassen wir zusammen, was wir haben: Der Kegel hat einen Radius von a/2 (die Grundseite des Dreiecks stellt ja den Durchmesser dar) und eine Höhe, die gleich der Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist. Diese Höhe kann man leicht berechnen, für gleichseitige Dreiecke gibt es dafür eine Formel, für die nur die Seitenlänge a gebraucht wird. Mit Radius und Höhe (beide in Abhängigkeit von a) kann man die Oberfläche des Kegels (ebenfalls in Abhängigkeit von a) berechnen. Die äußere Kugel hat einen Radius von 2/3 der soeben berechneten Dreieckshöhe (in Abhängigkeit von a) und mit diesem Radius kann man die Oberfläche der äußeren Kugel (in Abhängigkeit von a) bestimmen. Die innere Kugel hat einen Radius von 1/3 der soeben berechneten Dreieckshöhe (in Abhängigkeit von a) und mit diesem Radius kann man die Oberfläche der inneren Kugel (in Abhängigkeit von a) bestimmen. Das Rechnen überlaß ich großzügig Dir... |
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