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Endliche Summe bis k berechnen?

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Sonstiges

Tags: Summe

tommy40629 aktiv_icon

10:13 Uhr, 04.01.2016

Hi,

ich habe unten 2 endliche Summen, die bis k laufen.

Da es eine endliche Summe ist, kann ich alles, dass ich über unendliche Summen weiß vergessen.

Bei den endlichen Summen kennen ich nur dei arithmetische Reihe, geometrische Reihe und den binomischen Lehrsatz.

Keines der 3 kommt in den 2 Summen vor.

Ich habe auch gerade im Netz gesucht und keine Kriterien zur Berechnung von endlichen Summen gefunden.

Mir fällt noch die Partialbruchzerlegung ein, um zu sehen, ob es eine Teleskopreihe ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

10:26 Uhr, 04.01.2016

Erste Summe:
Erweitere die Brüche so, dass im Nenner

k!

steht.

k!

vor das Summenzeichen setzen.
Die verbleibende Summe ist genau die Binomialfaktorendarstellung von

{(1 + 1)}^{k} = 2^{k}

Ergebnis also

\frac{1}{k!} \cdot 2^{k}

Respon

10:34 Uhr, 04.01.2016

Zweite Summe analoge Vorgangsweise.
Allerdings kommst du dann bei den verbleibenden Summanden auf die Binomialkoeffizienten von

{(\frac{a}{b} + 1)}^{k}

Ergebnis also

\frac{{(\frac{a}{b} + 1)}^{k}}{k!}

Respon

10:37 Uhr, 04.01.2016

Und ? Alles klar ? ( zumindest prinzipiell )

Respon

10:47 Uhr, 04.01.2016

Ich muss dann gleich offline gehen.
Hier exemplarisch die Umformung eines Summanden.

z . B

\frac{1}{3! \cdot (k - 3)!} = \frac{(k - 2) \cdot (k - 1) \cdot k}{3! \cdot k!} = \frac{1}{k!} \cdot \frac{(k - 2) \cdot (k - 1) \cdot k}{3!} = \frac{1}{k!} \cdot \frac{k!}{3! \cdot (k - 3)!} = \frac{1}{k!} \cdot (\begin{matrix} k \\ 3 \end{matrix})

k

ist eine Konstante. Die Summe der Binomialkoeffizienten ergibt dann die Darstellung

{(1 + 1)}^{k}

Roman-22

11:59 Uhr, 04.01.2016

Ist dir

{(a + b)}^{k} = \sum_{n = 0}^{k} [(\begin{matrix} k \\ n \end{matrix}) \cdot a^{n} \cdot b^{k - n}]

bekannt.
Du kannst diese Beziehung mit

b = 1

gut verwenden, wenn du bei deinen Summen

\frac{1}{k}!

ausklanmmerst.

R

EDIT: Sorry. Sehe eben nach dem Absenden, dass Respon viel schneller war. Irgendwie scheint das früher so gut funktionierende automatische Aktualisieren der Threadansicht nun desöfteren auszusetzen.

Respon

12:06 Uhr, 04.01.2016

Ja, ist mir auch schon aufgefallen. Man sollte hier "nachprogrammieren".

Nur um Verwirrungen hintanzuhalten. Ich habe wegen des klobigen Editors die Bezeichnung

λ_{1}

bzw.

λ_{2}

durch die einfacheren a bzw.

b

ersetzt.

Roman-22

12:10 Uhr, 04.01.2016

Dann will ich nun auch zu einer Verminderung der Verwirrung beitragen und anmerken, dass in meinem Beitrag a und

b

wiederum andere Bedeutung haben.
Hier ist je nach Aufgabe

a = 1

oder

a = \frac{λ_{1}}{λ_{2}}

und

b = 1

zu setzen.

Und für den Fall, dass der Binomialkoeffizient nicht so geläufig sein sollte:

(\begin{matrix} k \\ n \end{matrix}) = \frac{k!}{n! \cdot (n - k)!}

Und noch eine Korrektur: Es sollte in meinem obigen Beitrag natürlich heißen, dass man

\frac{1}{k!}

ausklammert.

R

tommy40629 aktiv_icon

13:49 Uhr, 04.01.2016

Ich hatte leider wegen der Vorlesungen keine Zeit reinzuschauen.

Ich probiere jetzt Eure Tipps umzusetzen.....

tommy40629 aktiv_icon

14:04 Uhr, 04.01.2016

Für die 1-te Summe konnte ich jetzt etwas berechnen.

Könnte man das so stehen lassen?

Roman-22

14:12 Uhr, 04.01.2016

>

Könnte man das so stehen lassen?
Könnte man, aber es sieht ein wenig eigenartig aus, wenn man

1 + 1

nicht ausrechnet.
Außerdem ist es falsch, denn im vorletzten Term darf im Nenner kein Summenzeichen stehen. Du kannst den Term

\frac{1}{k!}

ja nur einmal ausklammern. Daher ist im Ergebnis auch der Faktor

(k + 1)

im Nenner ersatzlos zu streichen.

Ergebnis ist schlicht

\frac{2^{k}}{k!}

R

tommy40629 aktiv_icon

14:31 Uhr, 04.01.2016

Ich wollte noch kurz etwas zum Nenner sagen.

Ich betrachte nur den Nenner:

\sum_{n = 0}^{k} k! = k! + . . . + k!

da die Summe von n=0 bis k geht, haben wir (k+1)- mal den Summanden k! dort stehen, also kann ich schreiben:

\sum_{n = 0}^{k} k! = (k + 1) k!

Das war doch ok, oder?

Ich frage nach, weil Du etwas über das Ausklammern von

\frac{1}{k!}

geschrieben hast.

tommy40629 aktiv_icon

15:08 Uhr, 04.01.2016

Für die 2-te Summe habe ich nun auch fast eine Form ohne Summenzeichen gefunden.

Ich bekomme nur die Summe aus dem Zähler nicht weg:

\sum_{n = 0}^{k} λ^{n} (\binom{k}{n}) = λ^{0} (\binom{k}{0}) + λ^{1} (\binom{k}{1}) + λ^{2} (\binom{k}{2}) + . . . + λ^{k} (\binom{k}{k})

λ^{0} (\binom{k}{0}) + λ^{1} (\binom{k}{1}) + λ^{2} (\binom{k}{2}) + . . . + λ^{k} (\binom{k}{k}) =

+ λ k + λ^{2} (\binom{k}{2}) + . . . + λ^{k}

Könnte es sein, dass dies

λ^{k} (1 + 1)^{k} = 2^{k} λ^{k} = (2 λ)^{k}

entspricht?

Roman-22

15:58 Uhr, 04.01.2016

>

also kann ich schreiben:

>

∑n=0kk!=(k+1)k!

>

Das war doch ok, oder?
Dass diese Summe

= (k + 1) \cdot k!

ist, ist unbestritten. Allein war das Summenzeichen eben schon falsch.

Zahlenbeispiel:

\frac{2}{5} + \frac{4}{5} + \frac{6}{5} + \frac{8}{5} = \frac{1}{5} \cdot (2 + 4 + 6 + 8)

und NICHT

\frac{1}{5 + 5 + 5 + 5} \cdot (2 + 4 + 6 + 8)

Das ändert sich auch nicht, wenn man die Summen mit dem Summenzeichen schreibt

\sum_{n = 1}^{4} \frac{2 n}{5} = \frac{1}{5} \cdot \sum_{n = 1}^{4} (2 n)

und NICHT

\frac{1}{\sum_{n = 1}^{4} 5} \cdot \sum_{n = 1}^{4} (2 n)

R

EDIT: Zu deiner anderen Frage:
Überlege dir, was

{(1 + λ)}^{k}

ist und wie man es anschreiben könnte.

tommy40629 aktiv_icon

12:39 Uhr, 05.01.2016

(1 + λ)^{k}

, hier kann man den binomischen Lehrsatz benutzen.

Man muss dann Fälle für Lambda unterscheiden.

Lambda=1

Lambda =0

Lambda = -1

Lambda

\in ℝ \ {- 1, 0, 1}

dann ist es der "normale" binomische Lehrsatz.

Das mit dem Summenzeichen in den Zähler und Nenner ziehen habe ich jetzt verstanden.

Leider habe ich das genauso in einem Lehrbuch gesehen, jetzt weiß ich aber, dass es falsch ist.

Ich kann die Aufgabe dann jetzt beenden.

Vielen Dank an Euch!!!

tommy40629 aktiv_icon

12:39 Uhr, 05.01.2016

(1 + λ)^{k}

, hier kann man den binomischen Lehrsatz benutzen.

Man muss dann Fälle für Lambda unterscheiden.

Lambda=1

Lambda =0

Lambda = -1

Lambda

\in ℝ \ {- 1, 0, 1}

Roman-22

14:41 Uhr, 05.01.2016

>

(1+λ^)k, hier kann man den binomischen Lehrsatz benutzen.

>

Man muss dann Fälle für

Λ

unterscheiden.
Nein, muss man nicht.

R

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