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Ermittlung von 2^1000 per hand
Universität / Fachhochschule
Tags: Potenzen
 
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Wie ermittlere ich die letzten zwei Zahlen von per Hand. Der Dozent meinte er könnte auch schreiben und es wäre schnell und einfach zu lösen????? Vielleicht irgendwas mit modulo??? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Rechnen mit Potenzen |
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2^20 = 2^10 * 2^10 = 1024 * 1024 = 1048576
Es gibt nur eine einzige zweistellige Zahl, deren Quadrat vierstellig ist und wieder mit den gleichen zwei Ziffern endet, nämlich 76. 76² = 5776.
Behauptung:
Das Produkt zweier beliebiger natürlicher Zahlen, die auf 76 enden, endet auch wieder auf 76.
Beispiel:
729176 * 120576 = 87921125376
Allgemeiner Beweis:
Die beiden Zahlen seien
a * 100 + 76 b * 100 + 76
(a * 100 + 76) * (b * 100 + 76) =
= a * b * 10000 + a * 100 * 76 + b * 100 * 76 + 76 * 76 =
= a * b * 10000 + (a + b) * 7600 + 5776
Die ersten beiden Produkte enden auf 00 und ihre Summe ebenfalls.
Also sind die letzten beiden Ziffern des Gesamtergebnisses 76.
Da 2^20 = 1048576 ist, enden alle Potenzen von 2^20 ebenfalls mit 76.
GRUSS, DK2ZA
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Die ketzten 2 Stellen einer Zahl sind gerade diese Zahl mod Hundert. die Operation multipliziere eine Zahl mit 2 definiert eine Abbildung auf dem Mod 100 ring Diese Abllidung ist nicht surjektiv 2 ist Nullteiler mit 50.... 2 hoch 1 2 hoch 2 ist 4 mod 100 2 hoch 3 ist 8 16 32 64 28 56 12 24 48 Fuer die zwecke der Mulitiplikation mit zwei wegen Nullteiler 50 enspricht das -2 96 92 84 68 36 72 44 88 76 52 4 Bei 2 hoch 22 dementsprechend auch bei 2 hoch 3 die gleiche wie bei 2 hoch 23 usw hat man also wieder die gleichen letzten Ziffern wie bei 2 hoch 2 ergo hat man bei 2 hoch 10000000 die gleichen letzten Ziffern wie bei 2 hoch 20 welche da waere 76 Man kann die Eigenschaft das 2 Nullteiler ist sicher noch besser ausnutzen und sich die Zahlenkette ersparen aber so geht es auch. |
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Danke für das Licht am Ende des Tunnels. |
