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Ersatzfunktion bei gebrochenrationalen Funktionen

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Ersatzfunktion, Gebrochen-rationale Funktionen

 
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Jule0815

Jule0815 aktiv_icon

14:08 Uhr, 30.11.2009

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Woher weiß ich ob es bei gebrochenrationalen Funktionen eine Ersatzfunktion gibt oder nicht??
Und wie komme ich auf die Ersatzfunktion?

Beispiel: 1)f(x)=12(x-3)(x+2):x+1 keine Ersatzfunktion
2) f(x)=x³-3x+2 :x-1 Ersatzfunktion f(x)=(x-1)²(x+2):(x-1)=(x-1)(x+2)

Ich weiß das wenn ich beim 2. Beispiel die Polynomdivision anwende so das ich eine Gleichung 2. Grades bekomm und dann die Nullstellen bersechne und diese in die Linearfaktorenschreibweise umschreibe auf (x-1)(x+2) komme. Aber die Polynomdiv. ist ja in diesem Fall keine Ersatzfunktion. Wie gelange ich sonst noch zur Ersatzfunktion?




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hagman

hagman aktiv_icon

14:35 Uhr, 30.11.2009

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Ich schätze du meinst, ob die Definitionslücken an den Nullstellen des Nenners hebbare Lücken sind.
Wenn f(x)=p(x)q(x) und q(x0)=0 gilt, dann kann der Linearfaktor (x-x0) von q einmal oder möglicherweise sogar öfter abgespalten werden.
Im Anschluss führe auch mit p Polynomdivision durch und schaue, wie oft der Linearfaktor dort abgespalten werden kann.
Wenn der Faktor im Zähler ebenso so oft abgespalten werden kann wie im Nenner, dann ist die Lücke bei x0 hebbar, indem du diese gleiche Anzahl an Linearfaktoren kürzt. Ist der Faktor im Zähler sogar noch häufiger abspaltbar, ist die Funktion immer noch fortsetztbar und hat bei x0 sogar eine Nullstelle. Überwiegt dagegen der Nenner, so liegt eine Polstelle vor.

Bei deinem ersten Beispiel ist der einzige Linearfaktor des Nenners, also (x+1), kein Teiler des Zählerpolynoms, also ist die Lücke nicht hebbar, es liegt ein Pol vor.
Jule0815

Jule0815 aktiv_icon

18:53 Uhr, 30.11.2009

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Danke dir!
Aber irgendwie versteh ich das noch net ganz..kanns net ganz nachvollziehen..sorry :-(
Könntest mir das an meinen konkreten Beispiel zeigen bzw erklären?

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