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Erwartungswert

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Verteilungsfunktionen

Tags: Maximum, Minimum, Poisson-Verteilung, stetige Gleichverteilung, Verteilungsfunktion

 
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JanAusWarschau

JanAusWarschau aktiv_icon

22:13 Uhr, 04.10.2021

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Hallo zusammen,

den Text könnt ihr auf dem angehängten Bild finden - (ich wollte es lieber auf Englisch schreiben, damit es klarer ist). Ich vermute, man sollte irgendwie stetige Gleichverteilung mit Poisson-Verteilung zusammenbinden, um später die Minimum und Maximum in eine Variable von bekannter Verteilung zu transformieren. Mir kommt aber nichts in den Sinn. Für alle Antworten (Deutsch/Englisch) wäre ich sehr dankbar.

VG Jan

task

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:28 Uhr, 05.10.2021

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Richtig sein dürfte B), die Rechnung dazu ist allerdings etwas länger - womöglich, weil ich mich nicht geschickt genug angestellt habe und unnötigerweise einen Umweg gegangen bin:


Betrachten wir das ganze zunächst mal bedingt unter der Bedingung N=n, d.h., mit zugehörigem bedingten W-Maß Pn(A):=P(AN=n).

Dann können wir zunächst mal die gemeinsame Verteilung von mN,MN berechnen: Für 0tv1 gilt

Pn(t<mN,MNv)=(P(t<X1v))n+1=(v-t)n+1

und durch Differenzbildung dann Verteilungsfunktion und Dichte

Fn(t,v)=Pn(mNt,MNv)=Pn(0<mN,MNv)-Pn(t<mN,MNv)
=vn+1-(v-t)n+1

fn(t,v)=2tvFn(t,v)=(n+1)n(v-t)n-1 für n1 .

Damit können wir die bedingte Dichte von MN unter Bedingung mN=t berechnen:

fn(vt)=fn(t,v)t1fn(t,v)dv=n(v-t)n-1(1-t)n

und damit den bedingten Erwartungswert

En[MNmN=t]=t1vfn(vt)dv=t+nn+1(1-t)=1-1-tn+1(*) .

Schlussendlich kommt nun noch die Poisson-Verteilung von N ins Spiel: Es ist

E[MNmN=t]=n=0En[MNmN=t]P(N=n)
=1-(1-t)n=0λnn!(n+1)e-λ=1-(1-t)1λ(1-e-λ) .


P.S.: Antwort-Option D) ist eine raffinierte Falle, denn genau das kommt heraus, wenn man in (*) einfach n=E(N)=λ einsetzen würde. Das ist aber ein Trugschluss, da die Erwartungswert-Rechenregeln eine solche nichtlineare Operation (n steht im Nenner!) nicht abdecken.
JanAusWarschau

JanAusWarschau aktiv_icon

17:40 Uhr, 07.10.2021

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Vielen Dank für die Antwort! Könnte noch jemand von euch klären, wie der Schritt von der Sigma auf (1eλ) erfolgt hat?
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

18:21 Uhr, 07.10.2021

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Indexverschiebung! Mit k=n+1 ist

n=0λnn!(n+1)=n=0λn(n+1)!=k=1λk-1k!=1λk=1λkk!
=1λ(k=0λkk!-1)=1λ(eλ-1) .

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