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Erwartungswert - Summe von Variablen

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, stetige Gleichverteilung, Summe

 
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JanAusWarschau

JanAusWarschau aktiv_icon

12:05 Uhr, 08.10.2021

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Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe:

Die Variablen U1,U2,...Un,... sind unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen aus der steteigen Gleichverteilung Ui∼U(0,1),i∈{1,2,...}

Lass N=min{n≥0:∑i=1nUi>12} sein

Berechne E[N]

Optionen:

a) e2

b) 43

c) 12e+1

d) e

e) e


Zunächst habe ich es versucht mit der charakteristischen Funktion zu berehchnen (dann habe ich eine Formel für die Summe der i.i.d. Variablen mithilfe der charakteristischen Funktion in Anspruch genommen, bin aber nur bis zum Integral zugekommen - ich wollte die Dichte berechnen). Diese Summe ist eignetlich eine Irwin-Hall-Verteilung. Hätte irgendjemand von euch eine Idee, wie man es schaluer machen kann? Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Antwort
HAL9000

HAL9000

16:41 Uhr, 08.10.2021

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Sei Sn=∑i=1nUi. Dann kann man zumindest für 0≤t≤1 die Verteilungsfunktion P(Sn≤t)=tnn! nachweisen (z.B. Faltungsintegral + Induktion). Und damit bekommt man

P(N>n)=!P(Sn≤12)=12nn! .

Schlußendlich ist E[N]=∑n=0∞P(N>n)=exp(12)=e.


P.S.: Offenkundig kann man mit derselben Argumentation die Behauptung

E[Nt]=et für Nt:=min{n≥0:∑i=1nUi>t}

für alle t∈[0,1] nachweisen.