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Es geht um Münzwürfen

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Münze, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, wurf

sami01 aktiv_icon

16:38 Uhr, 03.12.2021

Eine faire Münze werde

n

mal hintereinander geworfen, wobei

n

∈ N. Für

i

∈

{1,

. . .

, n}

sei Ai das Ereignis, im i-ten Wurf Zahl zu bekommen. Außerdem sei
An+1 das Ereignis, bei einer geraden Anzahl von Würfen Zahl zu erhalten.

a)

Stellen Sie einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,

P)

für diese Situation
auf und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(Ai) für

i

∈

{1,

. . .

, n + 1}

b)

Zeigen Sie, dass

A 1, A 2,

. . . , An, An+1 nicht stochastisch unabhängig, aber jeweils

n

dieser

n + 1

Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

N8eule

17:47 Uhr, 03.12.2021

Hallo
Wenn ich mich anbieten dürfte, würde ich erst mal versuchen, aus diesem kryptischen Kauderwelsch ein wenig verständliche Aufgabe und Tun zu erfassen.

"sei

A_{i}

das Ereignis, im i-ten Wurf Zahl zu bekommen."
Willst du mal in dir verständliche Worte fassen, was wir darunter verstehen wollen.
Was ist denn

A_{i}

?
Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit für

A_{3}

?

Dann könntest du einfach mal das Beispiel

n = 2

durchexerzieren.
Wie groß ist hierfür

p (A_{1})

?
Wie groß ist hierfür

p (A_{2})

?
Wie groß ist hierfür

p (A_{3})

sami01 aktiv_icon

20:55 Uhr, 03.12.2021

Ich würde sagen:

P(A1)=ein Halb (Kopf oder Münze)
P(A2)=ein Viertel? (beim ersten Wurf Kopf, danach im zweiten Zahl)

P (A 3) = P (A 1) + P (A 2)

? weil das wären dann 2 Würfe, also eine gerade Anzahl von Würfen wäre, oder aber

P (A 3) = P (A 2)

N8eule

21:13 Uhr, 03.12.2021

Ehrlich gesagt, das wirkt ein wenig wie Raten.
Und ehrlich gesagt, es wirkt ein wenig, wie wenn mein Rat, sich die Dinge erst mal in verständlichen Worten klar zu machen, weiterhin sehr ratsam sei.

Du nennst zwar Zahlenwerte für Wahrscheinlichkeiten,
aber du erwähnst auch Unsicherheiten ("?"), weil du dir und uns offensichtlich nicht ganz klar machst, wofür diese Wahrscheinlichkeiten gelten.

Um zu bestärken: Ja richtig

p (A_{1}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Ich will ahnen, das gilt für das vorgeschlagene Beispiel

n = 2

.
Und "(Kopf oder Münze)" lässt hoffen und ahnen, dass du das Rechte meinst, aber eben im Halbsatz (Kopf oder Münze) nicht völlig klar machst, was das heißen soll und mit der Aufgabe zu tun hat.

PS: sollte wohl ("Kopf oder Zahl") heissen...

sami01 aktiv_icon

22:19 Uhr, 03.12.2021

Ich bin ganz ehrlich, weder verstehe ich die Aufgabe, noch weiß ich, was zu tun ist. Die Übungsaufgabe(n) sind mir so kompliziert, dass ich meistens nicht weiß, was zu tun ist und wie man es verstehen kann, auch wenn ich Stunden oder Tage darüber nachdenke oder mich umgucke. Das ist eine Aufgabe vom Übungsblatt und Übungsblätter sind bockschwer und ich muss genug Punkte haben, nur um die Klausur mitschreiben zu können. Ich weiß nicht, was zu tun ist. Hilfst du mir da bitte?

N8eule

23:09 Uhr, 03.12.2021

Dazu sind wir da.
Ich hatte ja schon erahnt und angesprochen, dass das größte Problem das Verständnis des kryptischen Aufgabenteils sein wird.
Ganz einfach

\Rightarrow

mir ging's genau so.

Ich verstehe die Aufgabe so,
Das Ereignis

A_{1}

fordert, dass der erste Wurf eine Zahl zeigt.

p (A_{1})

ist also die Wahrscheinlichkeit, im ersten Wurf eine Zahl zu werfen.
Und die ist natürlich

p (A_{1}) = \frac{1}{2}

analog:
Das Ereignis

A_{2}

fordert, dass der zweite Wurf eine Zahl zeigt.
Das Ereignis

A_{i}

fordert, dass der i-te Wurf eine Zahl zeigt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?
Einmal verstanden, sicher kein Problem mehr:

p (A_{i}) = \frac{1}{2}

gültig für die Wurfanzahl

1 \leq i \leq n

(und das ganz unabhängig von der Wurfanzahl

n .)

Etwas anders verhält es sich mit dem Ereignis

A_{n + 1}

.
"sei

A_{n + 1}

das Ereignis, bei einer geraden Anzahl von Würfen Zahl zu erhalten."
Ich finde das etwas unglücklich formuliert, und dass das auch noch nahtlos in einer Schnur ohne Absatz zu

A_{i}

benannt wird, machts didaktisch nicht leichter lesbar.
Nach langem Grübeln ist mein letztes Verständnis:

A_{n + 1}

fordert, dass man bei den

n

Münz-Würfen mitzählen soll, wie oft "Zahl" erschienen ist, und diese Anzahl gerade sein soll.

Willst du mal weiter machen?

HAL9000

23:31 Uhr, 03.12.2021

www.onlinemathe.de/forum/Abhaengigkeit-beim-Muenzwurf

Auch wenn die Fragestellerin damals das Interesse verloren hatte (oder abgeschreckt war, wer weiß): Es ist dieselbe Fragestellung.

sami01 aktiv_icon

23:47 Uhr, 03.12.2021

War kurz abwesend. Ja, diese

n + 1

hat mich verwirrt, da es nur n-Mal geworfen wird. Also gucken wir mal nach:

Von 1 bis

n

Würfen sollen eine Gerade Anzahl von Würfen Zahl enthalten werden.
Machen wir ein Beispiel mit

n = 2,

also 2 Würfen. Das bedeutet , das hier nur 0 oder 2 mal Zahl erlaubt seien dürfen, oder?
Die Wahrscheinlichkeit wäre

P (X = 0) + P (X = 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2},

wenn

X

gleich die Anzahl von Zahlwürfen
Für

n = 3 P (X = 0) + P (X = 2) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8}

Also für An+1 könnte die WS sein

: \frac{2^{n - 1}}{2^{n}} = \frac{1}{2}

oder?

P . S

. Ich antworte morgen , ich werde langsam müde.

N8eule

00:01 Uhr, 04.12.2021

Was ist denn wahrscheinlicher? Dass die Anzahl an 'Zahl' gerade oder ungerade ist?

Ein paar Beispiele

n = 1

n = 2

n = 3

durchexerziert - und - die obige Frage genüßlich zu Ende verdaut, sollte Sicherheit geben:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an 'Zahl' -Erscheinungen gerade ist, beträgt:

p (A_{n + 1}) = \frac{1}{2}

ebenso wie: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an 'Zahl' -Erscheinungen ungerade ist:
p_ungerade

= \frac{1}{2}

MathFanatiker aktiv_icon

15:50 Uhr, 04.12.2021

ich glaube so ist das Ereignis

A_{n + 1}

nicht gemeint weil wenn wir n=2 nehmen
hätten wir für das Ereignis

P (A_{n + 1}) = 1 / 4

, da das einzige Ereignis {(0,0)} nur enthalten wäre weil da zwei nullen sind oder verstehe ich etwas falsch

N8eule

16:06 Uhr, 04.12.2021

@MathFanatiker
Eine Münze zeigt keine Nullen.
Eine gerade Anzahl Zahlen wäre:

>

Kopf und Kopf,

d . h

. Anzahl "Zahlen"=0

\to

und damit gerade,

>

Zahl und Zahl,

d . h

. Anzahl "Zahlen"=2

\to

und damit gerade.

Es hilft nicht sehr, Zweifel zu streuen, wie etwas nicht zu verstehen sei.
Wir alle tun uns schwer, diesen etwas eigenwilligen Aufgabentext in menschlich verständliche Züge zu führen.
Wenn du andere Vorschläge hast, dann bitte mach diese verständlich, und als andere Vorschläge kenntlich.

MathFanatiker aktiv_icon

16:29 Uhr, 04.12.2021

okay kannst du mir vielleicht die Ereignisse zeigen die

A_{n + 1}

erfüllen für n = 2, damit ich das selber versteh.

Ω = {(0, 1), (0, 0), (1, 0), (1, 1)}

, das wäre für zweimal werfen wobei 0 für zahl und 1 für kopf steht,sprich wenn wir das Ereignis

A_{n + 1}

bestimmen wollen, gibt es nur ein elementarereignis, das dieser bedinung enspricht und das wäre

{(0, 0)}

und die wahrscheinlichkeit wäre 1/4

HAL9000

16:45 Uhr, 04.12.2021

Hier ist

A_{n + 1} = {(0, 0), (1, 1)}

, denn Anzahl 0 ist ebenfalls eine gerade Zahl.

MathFanatiker aktiv_icon

16:53 Uhr, 04.12.2021

aber dann wäre

(1, 1)

garnicht ernhateln, weil es doppel kopf ist, 1 steht für kopf

HAL9000

17:13 Uhr, 04.12.2021

(0,0) steht für (Zahl, Zahl), also 2mal Zahl. 2 ist eine gerade Zahl, also gehört (0,0) zu

A_{n + 1}

.

(1,1) steht für (Kopf, Kopf), also 0mal Zahl. 0 ist eine gerade Zahl, also gehört (1,1) zu

A_{n + 1}

.

Was ist daran nicht zu begreifen?

MathFanatiker aktiv_icon

17:18 Uhr, 04.12.2021

okay jetzt macht es sinn, wie muss man weitergeheb an der aufgabe

HAL9000

17:20 Uhr, 04.12.2021

Da musst du auf N8eule warten. (Ich hab mein Lösungsangebot schon im verlinkten Thread gemacht.)

MathFanatiker aktiv_icon

18:01 Uhr, 04.12.2021

der kollege mit mir oben studiert an der gleichen uni evtl, anscheinend haben nicht nur ich probleme, muss aber ehrlich sagen, dass der prof auch harten stuff macht. wir sind bei blatt 8 und ihr habt ja gesehen was ich bisher gepostet habe. ich habe echt keine ahnung wie der prof da die klausur machen soll

N8eule

21:19 Uhr, 04.12.2021

Nur um sicher zu stellen, dass wir nicht gegenseitig aufeinander "warten":
Ich sehe keine konkreten Fragen.

Und bitte, wer mit mir Verständigung suchen will, bitte lasst uns klare Worte nutzen.
Nochmals: Eine Münze hat keine "0" und keine "1".
Sie hat Zahl (siehe Aufgabenstellung), gerne abgekürzte mit "Z".
Sie wird wohl typischerweise Kopf haben, gerne abgekürzt mit "K".
Dann müssen wir nicht so kreuzweise ums Eck denken und die Kryptik unnötig mit Erklärungen und Rückfragen verkomplizieren, was nun "0" und was nun "1" heißen soll.

sami01 aktiv_icon

22:44 Uhr, 04.12.2021

Also die Wahrscheinlichkeitsraum ist nun:

{Z, K}^{n}

nach

(0,1)

Somit wäre die Kardinalität von der Definitionsmenge

2^{n}

.

Und P(Ai) müsste dann sein

P (A 1

Schnitt

A 2

Schnitt

. .

. An+1) und das wäre dann

\frac{1}{2}

wie wir ja gesagt haben. Wie könnte man das jetzt besser beweisen?

2^{n}

ist ja die Kardinalität von

{Z, K}^{n}

b),

da habe ich erstmal ein konkretes Gegenbeispiel gemacht:

n = 1

gesetzt, somit haben wir A1:=

{

Zahl} und A2:={Kopf}

P (A 1

Schnitt A2)=P(leere Menge)=0 ungleich

P (A 1) \cdot P (A 2)

was

\frac{1}{4}

wäre, daher sind
A1,...,An,An+1 nicht stochastisch unabhängig.

Aber beim Zeigen, dass

n

dieser

n + 1

Ergebnisse stochastisch unabh. sind, da habe ich keinen Plan. Hast du eine Idee, N8Eule?

N8eule

23:04 Uhr, 04.12.2021

"Und

p (A_{i})

müsste dann sein

. .

. 1/2"
Ja, das hatten wir schon besprochen.

"Wie könnte man das jetzt besser beweisen?"
Wie ausführlich willst du das denn noch beweisen?
In meinen Worten:

p (A_{i})

beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass im i-ten Münzwurf "Zahl" erscheint.
Da nur gleichberechtigt eines von zwei Ereignissen "Zahl" oder "Kopf" erscheinen kann, halte ich

p (A_{i}) = \frac{1}{2}

für so offensichtlich, dass es mir schwer fällt, noch eine Beweisnot zu sehen.

zu

b)

"somit haben wir

A_{1} =

{

Zahl} und

A_{2} =

{

Kopf}"
Nein - oder was soll das heißen???

A_{1}

ist immer noch das Ereignis, dass im ersten (und da

n = 1

einzigen) Münzwurf "Zahl" erscheint.

A_{2}

wäre dann gleich

A_{n + 1},

und damit immer noch das Ereignis, dass über die Münzwurf-Serie über

n = 1

Würfe eine gerade Anzahl an "Zahlen" auftritt.
Das kann doch dann nur die Anzahl= 0 sein,

d . h

. dass in diesem einen Wurf eben keine "Zahl", sondern eben "Kopf" auftritt.

Mein Rätsel und Erstaunen immer wieder, und hier in diesem Thread besonders:
Wir waren uns - dachte ich - einig, dass die Aufgabenstellung deshalb etwas schwierig war, weil sie so kryptisch formuliert ist. Dennoch strotzen die letzten Antworten wiederum im Stil von kryptischem Buchstabengewusel, und den regelmäßigen Bekundungen, in diesen unsicher zu sein...

sami01 aktiv_icon

23:33 Uhr, 04.12.2021

Ich habe gemeint zu

b)

A 1

bedeutet, dass ich in dem Einen Wurf Zahl erwische, aber

A 2

bedeutet in diesem Kontext , dass ich in einer geraden Anzahl von Würfen Zahl bekomme, also in dem Fall 0. Das heißt die Menge

A 1

wäre hier

{

(Zahl)} also das Ergebnis und

A 2

wäre dann hier

{

(Kopf)}, weil beim

A 2

ja nicht einaml Zahl vorkommt. Der Schnitt von

A 1

und von

A 2

ist ja eine leere Menge, ist ja also nicht möglich, das zu kriegen. Von daher ist die Wahrscheinlichkeit nicht stochastisch unanbhängig.

N8eule

23:45 Uhr, 04.12.2021

Darf ich mal in meinen Worten formulieren:

Der Fall

n = 1, d . h

. ein Münzwurf.

Fallunterscheidung: Es können genau zwei Fälle eintreten:

1. Fall: Wir werfen "Zahl"
Dann:
Das Ereignis

A_{1}

trifft zu, denn wir werfen ja tatsächlich im ersten Wurf eine 'Zahl'.

Für das Ereignis

A_{2} = A_{n + 1}

zählen wir mal durch, wie oft wir 'Zahl' geworfen haben.
Die Anzahl ist 1.
Das ist eine ungerade Anzahl.
Folglich trifft das Ereignis

A_{2}

nicht zu.

2. Fall: Wir werfen "Kopf"
Dann:
Das Ereignis

A_{1}

trifft nicht zu, denn wir werfen ja im ersten Wurf keine 'Zahl'.

Für das Ereignis

A_{2} = A_{n + 1}

zählen wir mal durch, wie oft wir 'Zahl' geworfen haben.
Die Anzahl ist 0.
Das ist eine gerade Anzahl.
Folglich trifft das Ereignis

A_{2}

zu.

N8eule

23:49 Uhr, 04.12.2021

b)

"Zeigen Sie, dass

A_{1}, A_{2}

nicht stochastisch unabhängig

. .

. sind."
Jetzt tun wir mal so, als ob wir wüssten, wie

A_{1}

ausgefallen ist.
Irgend ein Vögelchen verrät dir, dass

A_{1}

zutreffend ist.
Weißt du dann etwas über

A_{2}

?

Oder
Irgend ein Vögelchen verrät dir, dass

A_{1}

nicht zutreffend ist.
Weißt du dann etwas über

A_{2}

?

Oder, Gegenprobe, wir tun mal so, als ob wir wüssten, wie

A_{2}

ausgefallen ist.
Irgend ein Vögelchen verrät dir, dass

A_{2}

zutreffend ist.
Weißt du dann etwas über

A_{1}

?

Oder
Irgend ein Vögelchen verrät dir, dass

A_{2}

nicht zutreffend ist.
Weißt du dann etwas über

A_{1}

sami01 aktiv_icon

00:06 Uhr, 05.12.2021

Ok, entschuldige, ich habe das falsch verstanden. Ich kann einfach keine Lösung davon finden, von daher erkläre es ruhig mit deinen Worten.

N8eule

00:27 Uhr, 05.12.2021

b)

"Zeigen Sie, dass

A_{1}, A_{2}

nicht stochastisch unabhängig

. .

. sind."
Jetzt tun wir mal so, als ob wir wüssten, wie

A_{1}

ausgefallen ist.
Irgend ein Vögelchen verrät dir, dass

A_{1}

zutreffend ist.
Das bedeutet doch: Wir wissen, dass in dem Wurf "Zahl" aufgetreten ist.
Weißt du dann etwas über

A_{2}

?
Ja sicher. Die Anzahl an "Zahlen" ist

1,

folglich ungerade. Folglich wissen wir jetzt schon mit absoluter Sicherheit, dass

A_{2}

nicht zutreffend ist.

Oder
Irgend ein Vögelchen verrät dir, dass

A_{1}

nicht zutreffend ist.
Das bedeutet doch: Wir wissen, dass in dem Wurf keine "Zahl", sondern "Kopf" aufgetreten ist.
Weißt du dann etwas über

A_{2}

?
Ja sicher. Die Anzahl an "Zahlen" ist

0,

folglich gerade. Folglich wissen wir jetzt schon mit absoluter Sicherheit, dass

A_{2}

zutreffend ist.

Oder, Gegenprobe, wir tun mal so, als ob wir wüssten, wie

A 2

ausgefallen ist.
Irgend ein Vögelchen verrät dir, dass

A_{2}

zutreffend ist.
Das bedeutet doch: Wir wissen, dass in dem Wurf eine gerade Anzahl an "Zahlen" aufgetreten ist. Das kann nur 0-mal sein. Also ist wohl keine "Zahl", sondern "Kopf" eingetreten.
Weißt du dann etwas über

A 1

?
Ja sicher. Wie gesagt, der Wurf muss "Kopf" gewesen sein. Folglich wissen wir jetzt schon mit absoluter Sicherheit, dass

A_{1}

nicht zutreffend ist.

Oder
Irgend ein Vögelchen verrät dir, dass

A 2

nicht zutreffend ist.
Das bedeutet doch: Wir wissen, dass in dem Wurf nicht eine gerade, sondern eine ungerade Anzahl an "Zahlen" aufgetreten ist. Das kann nur 1-mal sein. Also ist wohl "Zahl" eingetreten.
Weißt du dann etwas über

A_{1}

?
Ja sicher. Wie gesagt, der Wurf muss "Zahl" gewesen sein. Folglich wissen wir jetzt schon mit absoluter Sicherheit, dass

A_{1}

zutreffend ist.

- - - - - - -

Zusammenfassend:
Wie auch immer wir es wenden, welche Annahme wir auch treffen,
Die Kenntnis eines Ereignisses aus

A_{1}

oder

A_{2}

führt unweigerlich zur Kenntnis des anderen Ereignisses.

Also die beiden Ereignisse

A_{1}

und

A_{2}

sind sowas von abhängig voneinander, abhängiger kann man gar nicht sein.
qed

MathFanatiker aktiv_icon

01:53 Uhr, 05.12.2021

und weil wir wissen dass beides nicht zutreffen kann an Ereignisse heißt es dass sie keinen Schnitt bilden können. Weil A1 zutrifft, kann A2 nicht zutreffen also andersherum für n =1 .
Und deswegen kommt da die leere Menge ?

aber die frage ging ja dann weiter " aber jeweils n dieser n+ 1 Ereignisse stochastisch unabhäangig sind"

N8eule

06:34 Uhr, 05.12.2021

Ich kann auch nicht schlafen, deswegen...

b . 2)

"Zeigen Sie, dass

. .

. jeweils

n

dieser

(n + 1)

Ereignisse stochastisch unabhängig sind."

Da ist natürlich dieses Primitiv-Beispiel Wurfanzahl

n = 1

etwas ungünstig.
"Zeigen Sie dass 1 Ereignis stochastisch unabhängig ist" - weil

n = 1

macht keinen Sinn.
Denn: wie soll EIN Ereignis stochastisch (un-) abhängig sein? Von was denn?

Diese Teilfrage macht erst Sinn, wenn wir höhere Wurfanzahlen

n

studieren.

Ich glaube mit der bisherigen Vorübung

(n = 1)

sind wir gut gerüstet, uns gleich dem allgemeinen Fall

n

zuzuwenden.
Wo zur Veranschaulichung Beispiel-Wurfanzahlen

n

hilfreich sind, können wir ja exemplarisch von

n = 10

ausgehen. Aber ich bin zuversichtlich, das schaffen wir auch gleich verallgemeinernd für beliebige

n

.

"Zeigen Sie, dass

. .

. jeweils

n

dieser

(n + 1)

Ereignisse stochastisch unabhängig sind."
Ich habe mir das eingangs etwa so klar gemacht:

Wenn ich beispielsweise nur die

n

Ereignisse

A_{i}

hätte,
wohlgemerkt für

1 \leq i \leq n

dann hätte ich nur Kenntnis über einzelne Münzwürfe.
Diese Teilaufgabe fordert nun (nach meinem besten Verständnis), dass wir beweisen sollen, dass diese stochastisch unabhängig sind.

Also:
Wenn ich Kenntnis über

(n - 1)

Ereignisse

A_{i}

besäße, wird sich dadurch die Wahrscheinlichkeit für das verbleibende unbekannte Ereignis verändern?

In anderen Worten, und um uns wieder beim anschaulichen Beispiel

n = 10

abzuholen:
Wenn ich Kenntnis über

(n - 1) = 9

Münzwürfe besäße,
beispielsweise die Münzwürfe 1 bis 6 und 8 bis

10,

nicht aber weiß, wie Münzwurf Nr. 7 ausgefallen ist

(A_{7}),

kann ich aus der Kenntnis der bekannten Münzwürfe Vorteile / Rückschlüsse / Schlussfolgerungen / Beeinflussungen der Wahrscheinlichkeit für

A_{7}

schließen?

sami01 aktiv_icon

11:21 Uhr, 05.12.2021

Nein, geht nicht, weil die Würfe miteinander unabhängig sind.
Man weiß zwar, was in den anderen Würfen geworfen wird, aber bei

A 7

weiß man es nicht, da man aus den anderen Würfen keine Rückschlüsse im Bezug auf den siebten Wurf ziehen kann.

N8eule

11:40 Uhr, 05.12.2021

Zur Vervollständigung des Beweises müssten wir aber auch noch den anderen Fall betrachten.
Es ist der Fall mit Betrachtung des Ereignisses

A_{n + 1}

.

Also:
Stell dir vor, du müsstest die (Un-) Abhängigkeit von

n

Ereignissen untersuchen, wobei

A_{n + 1}

mit drin ist.
Lässt sich jetzt aus der Kenntnis von

(n - 1)

Ereignissen die Wahrscheinlichkeit des n-ten Ereignisses beeinflussen, erhöhen, verringern, optimieren

o

.ä.?

In wiederum anderen Worten, und um wieder auf das Beispiel

n = 10

zurückzugreifen:
Wir sollen die (Un-) Abhängigkeit von

n = 10

Ereignissen untersuchen, wobei wir das Ereignis

A_{n + 1} = A_{10 + 1} = A_{11}

includieren wollen.
Nehmen wir doch mal ein Beispiel.
Wir untersuchen die (Un-) Abhängigkeit der

n = 10

Ereignisse:

A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{8}, A_{9}, A_{10}, A_{11}

(Beachte: ich habe

A_{7}

weggelassen, denn wir wollen ja

n = 10

Ereignisse untersuchen.)

Und nun wiederum:
Angenommen, du wüsstest (ein Vögelchen hätte dir eingeflüstert) wie die Zustände der Ereignisse

A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{5}, A_{6}, A_{8}, A_{9}, A_{10}, A_{11}

sind
nicht aber das von (beispielsweise)

A_{4}

.
Du hast so viele Informationen über deine MünzwurfSerie. Kannst du aus dieser Menge an Informationen irgendwie die Wahrscheinlichkeit des unbekannten Ereignisses

A_{4}

beeinflussen, erhöhen, verringern, errechnen, optimieren...?
Wie hoch ist denn nun

p (A_{4})

MathFanatiker aktiv_icon

11:47 Uhr, 05.12.2021

P (1 / 2)

, laut unserer erkenntnis für jedes

A_{i}

N8eule

11:49 Uhr, 05.12.2021

versuch doch mal dich formal korrekt zu äußern,
und wiederum einen ganzen deutschen verständlichen Satz zu schreiben.
Sei sicher: Wenn man's gleich richtig macht, dann musst du nicht wiederholen, und es geht effektiv schneller.

MathFanatiker aktiv_icon

11:50 Uhr, 05.12.2021

die wahrscheinlichkeit dass ein Ereignis

A_{4}

eintritt, beträgt

P (A_{4}) = 1 / 2

N8eule

11:55 Uhr, 05.12.2021

p (A_{4}) = \frac{1}{2}

war die Wahrscheinlichkeit, wenn wir überhaupt nichts wissen,

d . h

. unsere Ausgangssituation ganz am Anfang gestern.

Wir befinden uns im Themenbereich "bedingte Wahrscheinlichkeit".
Wir haben ganz erhebliche Bedingungen.
Wir haben eine ganze Menge an Informationen, wie um

11 : 40 h

beschrieben.

Du sollst die Unabhängigkeit dieser

10

Ereignisse untersuchen,
also wirst du schon ein wenig mehr an Überlegungen, Begründungen, Erklärungen tätigen müssen, um Beweis zu führen, als nur den Stoff von Gestern zu wiederholen...

MathFanatiker aktiv_icon

12:17 Uhr, 05.12.2021

wie sieht die bedinung aus wäre meine erste frage

N8eule

12:29 Uhr, 05.12.2021

Das hat jetzt zwar schon den Ansatz von Sätzen, aber selbst die sind abgehackt, und sorry - mindestens für mich unverständlich.
Ich gewinne den Eindruck, du schaffst ein neues Beispiel mit

n = 16

Münzwürfen.
Wird es leichter, wenn wir neue oder mehr Beispiele betrachten?
Ich hätte vorgeschlagen, doch mal beim gut vorbereiteten Beispiel von

11 : 40 h

zu bleiben.

- - - -

PS: Du hast nacheditiert.
Jetzt steht da: "wie sieht die bedingung aus wäre meine erste frage"

Nun eine Bedingung ist, dass dir ein Vögelchen Kenntnis über den Ausgang von

A_{9}

eingezwischert hat.

MathFanatiker aktiv_icon

13:39 Uhr, 05.12.2021

ich glaube das reicht für mich, das klingt jetzt stumpf aber ich warte bis die lösungen gegeben werden und wenn ich etwas nicht verstanden habe, werde ich mich nochmal melden oder beim tutor melden, danke dafür weil ich habe den Ansatz und die idee bisher verstanden. Um die Zulassung brauche ich eh keine Sorgen zu machen :-)

ich werde mit dem nächsten blatt mal anfangen.

sami01 aktiv_icon

21:56 Uhr, 05.12.2021

Das Thema wird jetzt, danke für die Hilfe unter anderem an N8Eule

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