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Existenz von Integral über Omega

Universität / Fachhochschule

Integration

Maßtheorie

Tags: Integration, Maßraum, Maßtheorie, Messbarkeit

LuciaSera aktiv_icon

16:34 Uhr, 13.12.2018

Meine Aufgabe:

Sei

(Ω, A, μ)

ein Maßraum. Sei

{(T_{n})}_{n \in ℕ} \subset A

mit

⋃_{n \in ℕ} T_{n} = Ω

und sei

f : Ω \to ℝ

eine messbare Funktion, sodass sie auf

T_{n}

Lebesgue integrierbar ist,

\forall n \in ℕ

a)

Existiert

\int_{Ω} f d μ,

falls die Mengen

T_{n}

paarweise disjunkt sind?
Hinweis: Betrachten Sie

Ω = [0, \infty), T_{n} = [n, n + 1], μ = λ

(Lebesgue-Maß) und

f (x) = 1, \forall x \in Ω

b)

Existiert

\int_{Ω} f d μ,

falls

{(T_{n})}_{n \in ℕ}

monoton wachsend ist und

lim_{n \to \infty} \int_{T_{n}} f d μ \in ℝ

?
Hinweis: Betrachten Sie

Ω = ℝ, T_{n} = (- n, n), μ = λ

und

f (x) = 1, x \geq 0, f (x) = - 1, x < 0

Ich kann mit Maß- und Integrationstheorie leider noch nicht sehr viel anfangen.. Wir haben in der Vorlesung zwar Sätze die ähnlich sind aufgeschrieben, aber in diesen ist immer die Nichtnegativität vorausgesetzt. Wie gehe ich das nun am besten an?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

22:49 Uhr, 13.12.2018

In den Hinweisen wird doch bereits alles verraten: Das sind jeweils Gegenbeispiele zu den Existenzaussagen, ein Beweis erübrigt sich damit. Eigene Kreativität ist daher bei dieser Aufgabe gar nicht vonnöten.

LuciaSera aktiv_icon

10:41 Uhr, 14.12.2018

Bei Beispiel

a)

habe ich es nicht wirklich als Gegenbeispiel aufgefasst. Vielleicht habe ich aber auch einfach etwas ganz falsch verstanden..

Folgendes ist meine Lösung:

\int_{Ω} f d μ = \int_{Ω} 1 d λ = \int_{⋃_{n \in ℕ} T_{n}} 1 d λ = λ (\emptyset) = 0

Daraus würde ich nun aber schlußfolgern, dass dieses Integral sehrwohl existiert..

Im ersten Schritt setze ich den Hinweis ein, dass

f (x) = 1, \forall x \in Ω,

im zweiten einfach nur, dass

Ω = ⋃_{n \in ℕ} T_{n}

und im dritten Schritt (da meine

T_{n}

alle paarweise disjunkt sind), dass das

\int_{\emptyset} 1 d λ = λ (\emptyset)

ist.

Stimmt das so nicht?

PS: Ich habe gerade gesehen, dass ich in den Hinweisen 2 Fehler habe!

T_{n} = [n, n + 1)

(also halboffen und nicht abgeschlossen) und

Ω = [1, \infty)

. Das tut mir leid!

pwmeyer aktiv_icon

12:00 Uhr, 14.12.2018

Hallo,

Du solltest Dir mal überlegen, warum das zweite Gleichheitszeichen bei Dir gelten könnte, dazu habt Ihr wahrscheinlich einen einschlägigen Satz in der Vorlesung besprochen.

Dein Schluss auf

λ (\emptyset)

ist mir unklar. Möglicherweise ist Dir nicht klar, was "paarweise disjunkt" bedeutet oder?

Gruß pwm

LuciaSera aktiv_icon

12:22 Uhr, 14.12.2018

Mein zweites Gleichheitszeichen gilt doch laut meiner Angabe oder nicht? Laut Angabe ist

Ω = ⋃_{n \in ℕ} T_{n},

also hab ich es einfach ersetzt. Und paarweise disjunkt bedeutet, dass

T_{i} \cap T_{j} = \emptyset

für

i \neq j

Und beispielsweisen ist ja

T_{n} \cap T_{n + 1} = \emptyset,

weil

n \neq n + 1,

also müsste doch die Vereinigung von diesen paarweise disjunkten Mengen die leere Menge sein oder nicht?

PS: Okay Blödsinn! Die Vereinigung muss nicht die leere Menge sein.. Da hatte ich einen riesigen Denkfehler!

pwmeyer aktiv_icon

17:19 Uhr, 14.12.2018

Hallo,

ja, ich habe mich falsch ausgedrückt. Meine Frage hätte eigentlich sein sollen, wie Du vom Integral über Omega auf die einzelnen Integrale schließt. Aber da jetzt die andere Frage geklärt ist: Auf ein Neues: Kannst Du jetzt für das angegebene Beispiel die gestellte Frage (Existiert das Integral von

f

über Omega?) beantworten?

Gruß pwm

LuciaSera aktiv_icon

17:43 Uhr, 14.12.2018

Okay mal sehen..

Für

Ω = [1, \infty)

ist

\int_{Ω} f d μ = \int_{1}^{\infty} 1 d λ

oder?

Kann ich die Nicht-Existenz so begründen:

lim_{T \to \infty} \int_{1}^{T} 1 d λ = lim_{T \to \infty} (T - 1) = \infty

Dann würde ich sagen, dass es nicht existiert. Aber ich bin mir unsicher, weil ich nicht verwende, dass die

T_{n}

paarweise disjunkt sind.

pwmeyer aktiv_icon

17:51 Uhr, 14.12.2018

Hallo,

ja,

\int_{1}^{\infty} 1 d λ

existiert nicht.

Der Sinn der Aufgabe ist - vermute ich- , dass Ihr in der Vorlesung einen Satz der folgenden Form hattet:

\int_{\cup T_{n}} F = \sum \int_{T_{n}} F

Dafür sind Voraussetzungen erforderlich. Die Aufgabe zeigt, dass man auf diese nicht verzichten kann.

Gruß pwm

LuciaSera aktiv_icon

18:27 Uhr, 14.12.2018

Ja stimmt! Unsere Voraussetzungen für diesen Satz sind, dass

f

eine einfache Funktion sein muss und

(T_{n}) \subset A

paarweise disjunkt. Dann gilt eben

\int_{⋃_{n \in ℕ} T_{n}} f d μ = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{T_{n}} f d μ

Aber im Endeffekt brauche ich diese Satz garnicht. Oder ist meine obere Lösung falsch?

LuciaSera aktiv_icon

18:39 Uhr, 14.12.2018

Und bei

b)

würde ich ähnlich vorgehen, indem ich

Ω = ℝ

aufteile von

- \infty

nach 0 und von 0 bis

\infty

und am Ende erhalte ich, dass auch dieses Integral nicht existiert.

Jedoch wieder ohne Verwendung des Intervalls

T_{n}

1452200

1452030

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