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Exponentialfunktionen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: achsenparalleles Rechteck, extremalproblem, minimaler umfang

sara-92 aktiv_icon

12:53 Uhr, 13.11.2010

Fragestellung: Im ersten Quadranten des Koordinatensystems ist ein achsenparalleles Rechteck so angeordnet, dass eine seiner Ecken im Ursprung und die diagonal gegenüberliegende Ecke

P

auf dem Graphen der Funktion

f (x) = e^{- 2 \cdot x}

liegt. Dieses Rechteck soll minimalen Umfang erhalten. Wie ist der auf dem Graphen von

f

liegende Punkt

P

zu wählen?

Hauptbedingung:

U = 2 (a + b) = 2 \cdot (x + y)

Nebenbedingung:

y = e^{- 2 \cdot x}

Zielfunktion:

U (x) = 2 \cdot (x + e^{- 2 \cdot x})

Sind die Funktionen richtig?

Nullstellen der ersten Ableitung

U' :

U' (x) =

u'v+uv'

U' (x) = 0 \cdot (x + e^{- 2 \cdot x}) + 2 \cdot 1 (1 - 2 \cdot e^{- 2 \cdot x})

U' (x) = 2 \cdot (1 - 2 \cdot e^{- 2 \cdot x})

Stimmt die Ableitung? Ich wusste nicht genau, was ich mit der 2 machen soll...

U' (x) = 0

2 \cdot (1 - 2 \cdot e^{- 2 \cdot x}) = 0

1 - 2 \cdot e^{- 2 x} = 0

- 2 \cdot e^{- 2 x} = - 1

e^{- 2 x} = 0,5

- 2 x = ln (0,5)

x = 0,3456

Stimmt das alles?

Bitte um Hilfe!
Gruß, Sara

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

nieaufgeber aktiv_icon

13:12 Uhr, 13.11.2010

ist richtig,

f' (x) = 0 \to x = \frac{ln 2}{2} = 0,347

f'' (0,347) > 0 \to x = 0,347

ist eine Min-Stelle

sara-92 aktiv_icon

13:18 Uhr, 13.11.2010

dann fehlt noch der y-Wert:

U (0,3465) = 1,693

Also liegt der Punkt

P

bei

(0,3465 | 1,693)

oder?

nieaufgeber aktiv_icon

13:33 Uhr, 13.11.2010

korrekt:-D)

olli1973 aktiv_icon

13:36 Uhr, 13.11.2010

〉

Stimmt die Ableitung? Ich wusste nicht genau, was ich mit der 2 machen soll...

Hoppla!

Die 2 ist nur ein Vorfaktor, die Produktregel ist hier doch ein recht umständlicher Weg.

Du solltest entweder vorher ausmultiplizieren oder die 2 eben als Vorfaktor mitschleifen:

f (x) = 2 \cdot (x + e^{- 2 \cdot x})

f' (x) = 2 \cdot (x + e^{- 2 \cdot x})' = 2 \cdot (1 - 2 \cdot x^{- 2 \cdot x}) = 2 - 4 \cdot x^{- 2 \cdot x}

Am Ende kommst du aber zum richtigen Ergebnis

sara-92 aktiv_icon

17:14 Uhr, 15.11.2010

Okay, vielen Dank!

Liebe Grüße
Sara

sara-92 aktiv_icon

17:15 Uhr, 15.11.2010

Okay, vielen Dank!

Liebe Grüße
Sara

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